2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式章末复习课件 新人教B版必修第一册

章末复习知识系统整合规律方法收藏1．一元二次方程的解法关于解方程，要依据一元二次方程的结构特点，灵活选用“分解因式法、配方法、公式法”几种方法．(1)若b＝0，直接开平方；若c＝0，用因式分解法；(2)若b，c都不为0，一般遵循“先分解因式法→后配方法→再公式法”的顺序，具体来说：①如果能在有理数范围内分解因式，用分解因式法计算量小；②当方程的一次项系数为偶数，且常数项的绝对值很大时，可以考虑用配方法；③如果不能在有理数范围内分解因式，且方程的一次项系数为奇数时，配方法可能计算量较大，宜选用公式法来解，而公式法是万能法．2．方程组的解法(1)解一次方程组解一次方程组时要根据方程组的特点灵活选择方法，当方程组中一个未知数的系数的绝对值是1或一个方程的常数项为0时，用代入法较方便；当方程组中同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，用加减法较方便；利用加减法解一次方程组时，选择方程组中同一个未知数的系数绝对值较小的未知数消元，这样会使运算量较小．(2)解二元二次方程组解二元二次方程组时，要先观察两个方程之间的关系，变换方程形式以达到代入消元或降次的目的，然后再根据解一次方程组的步骤进行求解．3．不等式的性质问题在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意．4．比较数(式)的大小依据：a－b0⇔ab；a－b0⇔ab；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．5．解一元二次方程的步骤(1)若一元二次不等式比较特殊并适合用因式分解的，一般应用因式分解法求解；(2)一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集．6．利用均值不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用均值不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用均值不等式的变形形式．7．利用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．学科思想培优一、判别式法的应用1．求最值[典例1]已知正实数a，b满足a＋2b＋ab＝30，试求实数a，b为何值时，ab取得最大值．解构造关于a的二次方程，应用“判别式法”．设ab＝y①，由已知得a＋2b＋y＝30②.由①②消去b，整理得a2＋(y－30)a＋2y＝0③，对于③，由Δ＝(y－30)2－4×2y≥0，即y2－68y＋900≥0，解得y≤18或y≥50，又y＝ab30，故舍去y≥50，得y≤18.把y＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a2－12a＋36＝0，即a＝6，从而b＝3.故当a＝6，b＝3时，ab取得最大值18.答案2.求变量的取值范围[典例2]不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－10对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解(m2－2m－3)x2－(m－3)x－10对任意x∈R恒成立．①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．答案②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－10对任意x∈R恒成立．则m2－2m－30，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－30，解得－15m3.故实数m的取值范围是－15m3.答案二、利用根与系数的关系，确定字母的取值[典例3]关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0.(1)证明：方程总有两个不相等的实数根；(2)设这个方程的两个实根为x1，x2，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．解(1)证明：一元二次方程x2－(m－3)x－m2＝0，∵a＝1，b＝－(m－3)＝3－m，c＝－m2，∴Δ＝b2－4ac＝(3－m)2－4×1×(－m2)＝5m－352＋365.∴Δ0恒成立，则方程总有两个不相等的实数根．答案(2)∵x1x2＝ca＝－m2≤0，x1＋x2＝－ba＝m－3，且|x1|＝|x2|－2，∴x1，x2异号，|x1|－|x2|＝－2，若x10，x20，上式化简得x1＋x2＝－2，∴m－3＝－2，即m＝1，方程化为x2＋2x－1＝0，解得x1＝－1＋2，x2＝－1－2，若x10，x20，上式化简得答案－(x1＋x2)＝－2，∴x1＋x2＝m－3＝2，即m＝5，方程化为x2－2x－25＝0，解得x1＝1－26，x2＝1＋26.答案[典例4]已知正数x，y满足x＋y＝1，则1x＋41＋y的最小值为()A．5B.143C.92D．2解析因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则21x＋41＋y＝[x＋(1＋y)]1x＋41＋y＝4x1＋y＋1＋yx＋5≥24x1＋y·1＋yx＋5＝9，所以1x＋41＋y≥92，当且仅当4x1＋y＝1＋yx，x＋y＝1，即x＝23，y＝13时，等号成立，因此1x＋41＋y的最小值为92.故选C.解析答案C答案三、常数代换法[典例5]已知a＋b＝2，b0，则当a为何值时，12|a|＋|a|b取得最小值？解12|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥1＋a4|a|≥34.当b＝2|a|，a0时两个等号同时成立，此时a＝－2.答案四、配凑法(1)从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积为定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例6]设x，y∈(0，＋∞)，x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值．解∵x，y∈(0，＋∞)，x2与y22的和为定值，∴x1＋y2＝x21＋y2＝2x2·1＋y22≤2·x2＋1＋y222＝2·x2＋y22＋122＝324，当且仅当x2＝1＋y22，即x＝32，y＝22时取等号，即x1＋y2的最大值为324.答案[典例7]已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最小值．解由条件得x＋y＋z＝1xyz，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝y·1xyz＋xz＝1xz＋xz≥2，当且仅当1xz＝xz，即xz＝1时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小值为2.答案(2)从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑．[典例8]设a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值．解2·3a＋1≤2＋3a＋12＝3a＋32，2·3b＋1≤3b＋32，2·3c＋1≤3c＋32.以上三式相加，并利用a＋b＋c＝1，得2(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)≤6，故3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值为32.答案本课结束