2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第2课时

第二章等式与不等式第2课时均值不等式的应用第二章等式与不等式考点学习目标核心素养证明不等式会利用均值不等式证明不等式问题逻辑推理解决实际问题会利用均值不等式解决与函数y＝ax＋bx有关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题，通过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：1a－11b－11c－1≥8.利用均值不等式证明不等式【证明】因为a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，所以1a－1＝1－aa＝b＋ca≥2bca，同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc.上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1a－11b－11c－1≥2bca·2acb·2abc＝8.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．在本例条件下，求证：1a＋1b＋1c≥9.证明：因为a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，所以1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换．另外，解题时要时刻注意等号能否取到．1．已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明：因为a，b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥22ab＝4，所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab＝5＋2a＋b≥5＋4＝9.即(1＋2a)(1＋b)≥9.2．已知a，b，c＞0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.证明：因为a，b，c＞0，所以利用均值不等式可得a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，所以a2b＋b2c＋c2a＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？利用均值不等式解实际应用题【解】设该厂每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意可知，面粉的保管费等其他费用为3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)(元)．设平均每天所支付的总费用为y元，则y＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1800＝9x＋900x＋10809≥29x·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x＝900x，即x＝10时，等号成立．故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说，都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中尽量向模型ax＋bx≥2ab(a0，b0，x0)上靠拢．1．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，且x0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：582．用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为xm、宽为ym，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.由xy≤x＋y2＝182＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.不等式9x＋a2x≥a＋1(常数a＞0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．均值不等式的综合问题【解】常数a＞0，若9x＋a2x≥a＋1对一切正实数x成立，则a＋1≤9x＋a2x的最小值，又9x＋a2x≥6a，当且仅当9x＝a2x，即x＝a3时，等号成立．故必有6a≥a＋1，解得a≥15.所以a的取值范围为a≥15.(1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．[注意]f(x)表示有关x的代数值．已知不等式(x＋y)4x＋ay≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．1B．2C．4D．6解析：选C.(x＋y)4x＋ay＝4＋a＋4yx＋axy，因为x＞0，y＞0，a＞0，所以4yx＋axy≥24yx·axy＝4a，当且仅当4yx＝axy时取等号．由已知可得4＋a＋4a≥16，即a＋4a－12≥0，解得a≥2或a≤－6(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.1．若a，b∈R，则判断大小关系a2＋b2________2|ab|.()A．≥B．＝C．≤D．＞解析：选A.由均值不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．解析：每年购买次数为400x次．所以总费用＝400x·4＋4x≥26400＝160，当且仅当1600x＝4x，即x＝20时等号成立．答案：203．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.证明：由a，b，c，d都是正数，得ab＋cd2≥ab·cd，ac＋bd2≥ac·bd，所以（ab＋cd）（ac＋bd）4≥abcd，即(ab＋cd)·(ac＋bd)≥4abcd.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放