2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及

2.2.4均值不等式及其应用(教师独具内容)课程标准：1.理解均值不等式的内容及其证明过程.2.能熟练地运用均值不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用均值不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握均值不等式及变形的应用.5.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题．教学重点：1.均值不等式的内容及其证明过程.2.运用均值不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题．教学难点：均值不等式条件的创造.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【情境导学】(教师独具内容)如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【知识导学】知识点一数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式(1)一般地，如果A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝，这是数轴上两点之间的距离公式．(2)如果线段AB的中点M的坐标为x.若ab，则.因为M为中点，所以AM＝MB，即x－a＝b－x，因此x＝.不难看出，当a≥b时，上式仍成立．这就是数轴上两点之间的公式．□01|a－b|□02axb□04中点坐标□03a＋b2核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练知识点二算术平均值与几何平均值给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．□01a＋b2□02ab核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练知识点三均值不等式如果a，b都是正数，那么．我们把这个不等式称为均值不等式．均值不等式也称为，其实质是：．□02基本不等式□03两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值□01a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练知识点四均值不等式与最大(小)值当x，y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若x＋y＝s(s为定值)，则当且仅当时，xy取得最值(简记：和定积有最大值)．(2)若xy＝p(p为定值)，则当且仅当时，x＋y取得最值(简记：积定和有最小值)．□01x＝y□02大□04x＝y□05小□03s24□062p核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【新知拓展】1．由均值不等式变形得到的常见的结论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b均为正实数)；(3)ba＋ab≥2(a，b同号)；(4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b同号)；(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练2．利用均值不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意均值不等式成立的条件；(2)多次使用均值不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用均值不等式证明的可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练3．利用均值不等式的解题技巧与易错点(1)利用均值不等式求最值常用构造定值的技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后再用均值不等式．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(2)易错点①易忘“正”，忽略了各项均为正实数；②易忘“定”，用均值不等式时，和或积为定值；③易忘“等”，用均值不等式要验证等号是否可以取到；④易忘“同”，多次使用均值不等式时，等号成立的条件应相同．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a＋b2≥ab对于任意实数a，b都成立．()(2)若a0，b0，且a≠b，则a＋b2ab.()(3)当x1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(4)式子x＋1x的最小值为2.()(5)若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2的最小值为2.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m2＋1≥2m等号成立的条件是________．(2)ba＋ab≥2成立的条件是________．(3)x＞1，则x＋1x－1的最小值为________．(4)若a0，b0，且a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为________．答案(1)m＝1(2)a与b同号(3)3(4)2答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练核心素养形成核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型一对均值不等式的理解例1给出下面三个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；③因为x，y∈R，xy0，所以xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．②D．①③[解析]从均值不等式成立的条件考虑．①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合均值不等式成立的条件，故正确；解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练②因为a∈R，a≠0不符合均值不等式成立的条件，所以4a＋a≥24a·a＝4是错误的；③由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将xy＋yx看成一个整体提出负号后，－xy，－yx均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确．解析[答案]D答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛均值不等式a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是非负实数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＝b⇒a＋b2＝ab；核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练②仅当a＝b时，a＋b2≥ab的等号成立，即a＋b2＝ab⇒a＝b.核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练1]下列命题中正确的是()A．当a，b∈R时，ab＋ba≥2ab·ba＝2B．当a＞0，b＞0时，(a＋b)1a＋1b≥4C．当a＞4时，a＋9a的最小值是6D．当a＞0，b＞0时，2aba＋b≥ab答案B答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解析A中，可能ba＜0，所以不正确；B中，因为a＋b≥2ab＞0，1a＋1b≥21ab＞0，相乘得(a＋b)1a＋1b≥4，当且仅当a＝b时等号成立，所以正确；C中，a＋9a≥2a·9a＝6中的等号不成立，所以不正确；D中，由均值不等式知，2aba＋b≤ab(a＞0，b＞0)，所以不正确．解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型二利用均值不等式比较大小例2已知a＞1，则a＋12，a，2aa＋1三个数的大小关系是()A.a＋12＜a＜2aa＋1B.a＜a＋12＜2aa＋1C.2aa＋1＜a＜a＋12D.a＜2aa＋1≤a＋12核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[解析]当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b∈R＋)，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12.又a＞1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.解析[答案]C答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[题型探究]对一切正数m，不等式n＜4m＋2m恒成立，求常数n的取值范围．解当m∈(0，＋∞)时，由均值不等式，得4m＋2m≥24m·2m＝42，且当m＝2时，等号成立，故n的取值范围为n＜42.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛利用均值不等式比较大小在利用均值不等式比较大小时，应创设应用均值不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑均值不等式使用的条件，其次要明确均值不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练2]已知：a，b∈(0，＋∞)且a＋b＝1，试比较1a＋1b，2a2＋b2，4的大小．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解∵a＞0，b＞0，a＋b≥2ab，∴ab≤14.∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4，a2＋b22＝a＋b2－2ab2＝12－ab≥12－14＝14，即2a2＋b2≤4.∴1a＋1b≥4≥2a2＋b2.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型三利用均值不等式求代数式的最值例3(1)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值；(2)已知正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，求xy的最小值；(3)已知实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，求x＋y的最大值．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[解](1)∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9xy＋10≥6＋10＝16，当且仅当yx＝9xy，1x＋9y＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(2)∵2x＋y＋6＝xy，∴y＝2x＋6x－1，x＞1，xy＝x2x＋6x－1＝2x2＋3xx－1＝2[x2－1＋3x－1＋4]x－1＝2x＋1＋4x－1＋3＝2x－1＋4x－1＋5≥2×2x－1·4x－1＋5＝18.当且仅当x＝3时，等号成立，∴xy的最小值为18.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(3)因为1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－x＋y22，所以(x＋y)2≤43，即x＋y≤233，当且仅当x＝y＞0，且x2＋y2＋xy＝1，即x＝y＝33时，等号成立，∴x＋y的最大值为233.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[结论探究]若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值？解1x＋9y＝y＋9xxy≥2y·9xxy＝6xyxy＝6xy，又因为1x＋9y＝1，所以6xy≤1，xy≥6，xy≥36，当且仅当y＝9x，即x＝2，y＝18时，等号成立．所以(xy)min＝36.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛利用均值不等式求代数式的最值(1)利用均值不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练3](1)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；(2)已知x0，y0，且满足x3＋y4＝1，求xy的最大值．解(1)∵x，y为正数，且x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y＝3＋2yx＋xy≥3＋22，当且仅当2yx＝xy，即当x＝2－1，y＝1－22时等号成立．∴1x＋1y的最小值为3＋22.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(2)∵x3＋y4＝1，∴1＝x3＋y4≥2xy12＝33xy.∴xy≤3，当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时等号成立．∴xy≤3，即xy的最大值为3.答案核心概念掌握核心素养形