2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及

课后课时精练2A级：“四基”巩固训练一、选择题1．不等式9x－2＋(x－2)≥6(其中x2)中等号成立的条件是()A．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－5答案C解析由均值不等式知等号成立的条件为9x－2＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．故选C.答案解析32．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b＞2abD.ba＋ab≥2答案D解析根据条件，当a，b均小于0时，B，C不成立；当a＝b时，A不成立；因为ab＞0，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2，故D成立．答案解析43．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.1ab≥8B.1a＋1b≥4C.ab≥12D.1a2＋b2≤12答案B答案5解析∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2ab，又a＋b＝1，∴2ab≤1，即ab≤12.∴ab≤14.∴1ab≥4.故A，C不正确．对于D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤14可得a2＋b2＝1－2ab≥12.所以1a2＋b2≤2.故D不正确．对于B，∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝1＋ba＋ab＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.解析64．已知y＝x＋1x－2(x＜0)，则y有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4答案C答案7解析∵x＜0，∴－x＞0.∴x＋1x－2＝－－x＋1－x－2≤－2－x·1－x－2＝－4.当且仅当－x＝－1x，即x＝－1时取等号．故选C.解析85．若对于任意x1，x2＋3x－1≥a恒成立，则a的最大值是()A．4B．6C．8D．10答案B答案9解析∵x1，∴x2＋3x－1＝x－12＋2x－1＋4x－1＝(x－1)＋4x－1＋2≥2x－1·4x－1＋2＝6，当且仅当x－1＝4x－1，即x＝3时，“＝”成立，所以a≤6.故选B.解析10二、填空题6．已知a＞b＞c，则a－bb－c与a－c2的大小关系是________．答案a－bb－c≤a－c2解析∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.∴a－c2＝a－b＋b－c2≥a－bb－c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．答案解析117．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则2a＋1b的最小值为________．答案83答案12解析∵a＞0，b＞0，a＋2b＝3，∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋2b)×13＝4＋4ba＋ab3≥43＋234ba·ab＝83，当且仅当4ba＝ab，即a＝32，b＝34时取等号，∴2a＋1b的最小值为83.故答案为83.解析138．函数y＝2x2＋5x＋7x＋1(x＞－1)的最小值为________．答案42＋1答案14解析由题意知，函数y＝2x2＋5x＋7x＋1＝2(x＋1)＋4x＋1＋1.∵x＞－1，∴x＋1＞0，∴y＝2(x＋1)＋4x＋1＋1≥22x＋1·4x＋1＋1＝42＋1，当且仅当x＋1＝2x＋1，即x＝2－1时等号成立．故函数的最小值为42＋1.解析15三、解答题9．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.证明∵a＞0，b＞0，c＞0，∴bca＋acb≥2abc2ab＝2c，acb＋abc≥2a2bcbc＝2a，bca＋abc≥2ab2cac＝2b.又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立，∴bca＋acb＋abc＞a＋b＋c.答案1610．(1)已知正数a，b满足a＋4b＝4，求1a＋1b的最小值；(2)求y＝k2＋2k2＋6的最大值．解(1)因为a，b＞0，且a＋4b＝4，所以1a＋1b＝14(a＋4b)1a＋1b＝145＋ab＋4ba≥145＋2ab·4ba＝94，当且仅当a＝2b＝43时取等号，所以1a＋1b的最小值为94.答案17(2)令t＝2＋k2(t≥2)，则y＝tt2＋4＝1t＋4t≤12t·4t＝14，当且仅当t＝2，即k＝±2时，取得等号．故y的最大值为14.答案18B级：“四能”提升训练1．已知a，b，x，y＞0，x，y为变量，a，b为常数，且a＋b＝10，ax＋by＝1，x＋y的最小值为18，求a，b.解x＋y＝(x＋y)ax＋by＝a＋b＋bxy＋ayx≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当bxy＝ayx时取等号．答案19故x＋y的最小值为(a＋b)2＝18，即a＋b＋2ab＝18，①又a＋b＝10，②由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.答案202．设abc，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．解由abc，知a－b0，b－c0，a－c0.因此，原不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m.要使原不等式恒成立，只需a－ca－b＋a－cb－c的最小值不小于m即可．答案21因为a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b×a－bb－c＝4，当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈(－∞，4]．答案本课结束