2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系

最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．(2)会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.知识点一b2－4ac(Δ)的取值与根的个数间的关系b2－4ac(Δ)根的情况b2－4ac0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________的实数根，即x1＝____________，x2＝____________b2－4ac＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有___________________，即x1＝x2＝－b2ab2－4ac0方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)________两个不相等－b＋b2－4ac2a－b－b2－4ac2a两个相等的实数根无实数根知识点二一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝____，x1x2＝____.－baca状元随笔应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：(1)x21＋x22＝(x21＋2x1x2＋x22)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(3)|x1－x2|＝x1－x22＝x1＋x22－4x1x2；(4)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2；(5)x2x1＋x1x2＝x22＋x21x1x2＝x1＋x22－2x1x2x1x2.[基础自测]1．方程x2－23kx＋3k2＝0的根的情况是()A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根解析：Δ＝(－23k)2－12k2＝12k2－12k2＝0.答案：C2．已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为()A．4B．－4C．3D．－3解析：由题知x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，则x1＋x2－3x1x2＝－b－3×(－3)＝5，解得b＝4.答案：A3．若代数式x2－6x＋5的值是12，则x的值为()A．7或－1B．1或－5C．－1或－5D．不能确定解析：由题意得x2－6x＋5＝12，x2－6x＋5－12＝0，x2－6x－7＝0，∴x＝6±36＋282，解得x1＝－1，x2＝7.故选A.答案：A4．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2＝________.解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－2.答案：－2题型一方程根个数的判断及应用[经典例题]例1若关于x的不等式x－a21的解集为x1，试判断关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0的根的情况．【解析】解不解式x－a21，得x1＋a2，而不等式x－a21的解集为x1，所以1＋a2＝1，解得a＝0，所以一元二次方程的根的判别式Δ＝a2－4＝－40，所以关于x的一元二次方程x2＋ax＋1＝0没有实数根．先求出a再判断根的个数状元随笔(1)解一元一次不等式，利用解集求a.(2)Δ＝a2－4，利用Δ0，Δ＝0，Δ0的情况讨论根的情况.方法归纳对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有(1)当Δ0时，方程有两个不相等的实数根x1,2＝－b±b2－4ac2a；(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a；(3)当Δ0时，方程没有实数根．跟踪训练1已知关于x的一元二次方程3x2－2x＋k＝0，根据下列条件，分别求出k的范围．(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根．解析：Δ＝(－2)2－4×3k＝4(1－3k)．(1)因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ0，即4(1－3k)0，所以k13.(2)因为方程有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即4(1－3k)＝0，所以k＝13.题型二直接应用根与系数的关系进行计算[教材P50例2]例2已知一元二次方程2x2＋3x－4＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：(1)x21＋x22；(2)|x1－x2|.【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－32，x1x2＝－2.(1)由上有x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－322－2×(－2)＝254.(2)因为(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－322－4×(－2)＝414，所以|x1－x2|＝x1－x22＝412.教材反思在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之积的形式，然后代入求值．跟踪训练2已知一元二次方程x2＋3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：(1)x21＋x22；(2)1x1＋1x2.解析：根据一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝－1.(1)x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－3)2－2×(－1)＝11.(2)1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝－3－1＝3.题型三应用根与系数的关系求字母系数的值或范围[经典例题]例3已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋14k2＋1＝0，根据下列条件，求出k的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根x1，x2，满足|x1|＝x2.【解析】Δ＝[－(k＋1)]2－4×14k2＋1＝2k－3，Δ≥0，k≥32.(1)设方程的两个根为x1，x2，x1x2＝14k2＋1＝5，k2＝16，k＝4或k＝－4(舍)．(2)①若x1≥0，则x1＝x2，Δ＝0，k＝32.方程为x2－52x＋2516＝0，x1＝x2＝540满足．②若x10，则x1＋x2＝0，即k＋1＝0，k＝－1.方程为x2＋54＝0而方程无解，所以k≠－1，所以k＝32.方法归纳利用一元二次方程根与系数的关系求待定字母的值时，务必注意根与系数的关系的应用前提条件，即Δ≥0.跟踪训练3(1)关于x的方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是()A．－2或3B．3C．－2D．－3或2(2)已知：方程2x2－(k＋1)x＋k＋3＝0的两根之差为1，则k的值为________．解析：(1)∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∵方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝[－(m＋6)]2－4m2＝－3m2＋12m＋36＝0，解得m＝6或m＝－2.∴m＝－2.(2)设x1，x2为方程的两个根，则x1＋x2＝k＋12x1x2＝k＋32，|x1－x2|＝1，k＋122－2(k＋3)＝1，k＝9或k＝－3.检验当k＝9或k＝－3时，Δ≥0成立．答案：(1)C(2)－3或9