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第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集一、等式的性质我们已经学习过等式的性质：（1）等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立。用符号语言和量词表示上述等式的性质：（1）如果a=b，则对任意c，都有；（2）如果a=b，则对任意不为零的c，都有.自主思考a+c=b+cac=bc为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立.补全下列（1）（2）中的两个公式，然后将下列含有字母的等式进行分类，并说出分类的标准：(1)a2-b2=（平方差公式）；(2)(x+y)2=（两数和的平方公式）；（a+b）（a-b）x2+2xy+y2二、恒等式(3)3x-6=0；(4)(a+b)c=ac+bc；(5)m(m-1)=0；(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).我们知道，方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。如果从量词的角度来对以上6个等式进行分类的话，可以知道，等式对任意实数都成立，而等式只是存在实数使其成立.例如3x-6=0只有x=2时成立，x取其他数时都不成立.恒等式：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。（1）（2）（4）（6）（3）（5）恒等式是进行代数变形的依据之一.例如，因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x，y都成立，所以可用其他代数式去替换其中的x，y，等式仍然会成立，若用-z替换其中的y，则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2=x2-2xz+z2由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.典型例题例1化简(2x+1)2-(x-1)2.(方法一)可以利用两数和的平方公式与两数差的平方公式展开,然后合并同类项,即(方法二)可以将2x+1和x-1分别看成一个整体,然后使用平方差公式，即下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+ab.这个恒等式的证明，只需将左边展开然后合并同类项即可，留作练习.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).十字相乘法为了方便记忆，方程x2+Cx+D，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.举例对于式子x2+5x+6来说，因为2×3=6且2+3=5，所以x2+5x+6=.（x+2）（x+3）尝试与发现证明恒等式(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.并由此探讨Ex2+Fx+G的因式分解方法.上述恒等式的证明，也只需将左边展开然后合并同类项即可。据此也可进行因式分解。例如，对于3x2+11x+10来说，因为1×3=3，2×5=10，1×5+3×2=11，如右图所示，所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).三、方程的解集方程的解集：方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值.一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集。利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形，可以得到一些方程的解集.例如，对于方程3x+5=-1来说，首先在等式两边同时加上-5，可得3x=-6然后在上述等式两边同时乘以，则得x=-2，因此可知方程3x+5=-1的解集为{-2}.31不难知道，利用类似的方法可以得到所有一元一次方程的解集.从小学开始我们就知道，任意两个非零的实数，它们的乘积不可能是零，因此：如果ab=0，则a=0或b=0.利用这一结论，我们可以得到一些方程的解集。例如，由方程(4x+1)(x-1)=0可知4x+1=0或x-1=0，从而x=-或x=1，因此方程(4x+1)(x-1)=0的解集为{-,1}.4141典型例题例2求方程x2-5x+6=0的解集解因为x2-5x+6=0=(x-2)(x-3)，所以原方程可以化为(x-2)(x-3)=0，从而可知x-2=0或x-3=0，即x=2或x=3，因此所求解集为{2，3}.例2说明，如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为(x-x1)(x-x2)=0的形式,那么就能方便得得出原方程的解集了.思考与辨析：一元二次方程的解集中一定有两个元素吗？典型例题例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=吗?为什么?a2解当a≠0时,在等式ax=2的两边同时乘以,得x=,此时解集为{}.a1a2a2当a=0时,方程变为0x=2,这个方程无解,此时解集为∅.综上,当a≠0时,解集为{};当a=0时,解集为∅.a2