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知识点一空间几何体1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，若只考虑这些物体的____和____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫作空间几何体．形状大小2．空间几何体的分类多面体旋转体定义由若干个____________围成的几何体由一个平面图形绕它所在平面内的一条________旋转所形成的____________图形相关概念面：围成多面体的各个______；棱：相邻两个面的_______；顶点：________的公共点轴：形成旋转体所绕的________平面多边形定直线封闭几何体多边形公共边棱与棱定直线状元随笔1.任意一个几何体都是由点、线、面构成的.点、线、面是构成几何体的基本元素．我们还可以从运动的观点来理解空间基本图形之间的关系．在几何中，可以把线看成点运动的迹，如果点运动的方向始终不变，那么它的迹就是一条直线或线段；如果点运动的方向时刻在变化，则运动的迹是一条曲线或曲线的一段．同样，一条线运动的迹可以是一个面，面运动的迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体．即点动成线，线动成面，面动成体．2．多面体与旋转体的异同相同点：两者都是封闭的几何体，包括表面及其内部的所有点．不同点：多面体的表面是平面多边形，旋转体的侧面是曲面，底面为圆．知识点二多面体多面体定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相____，其余各面都是______，并且每相邻两个四边形的公共边都互相____，由这些面所围成的多面体叫作棱柱如图可记作：棱柱____________________________________________底面(底)：两个互相____的面；侧面：________；侧棱：相邻侧面的________；顶点：侧面与底面的________平行四边形平行ABCDEF－A′B′C′D′E′F′平行其余各面公共边公共顶点棱锥有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的多面体叫作棱锥如图可记作：棱锥____________底面(底)：______面；侧面：有公共顶点的各个________；侧棱：相邻侧面的______；顶点：各侧面的________多边形三角形S－ABCD多边形三角形面公共边公共顶点棱台用一个_________________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台如图可记作：棱台：__________________________上底面：原棱锥的______；下底面：原棱锥的______；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点平行于棱锥底面ABCD－A′B′C′D′截面底面状元随笔对于多面体概念的理解，注意以下两个方面(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．一个多面体由几个面围成，就称为几面体．(2)多面体是一个“封闭”的几何体，包括其内部的部分．[教材解难]判断多面体是不是棱台容易出现两个错误：(1)只看到有两个面互相平行，而不注意各条侧棱延长线是否相交于一点；(2)只看到各条侧棱的延长线相交于一点，忽视了两个底面是否平行．如图，它们都不是棱台．[基础自测]1．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.答案：C2．下列图形中，是棱台的是()解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.答案：C3．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.答案：C4．一个棱柱至少有______个面，顶点最少的一个棱台有______条侧棱．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有五个面；顶点最少的一个棱台是三棱台，它有三条侧棱．答案：53题型一棱柱、棱锥、棱台的结构特征[经典例题]例1(1)下列命题中正确的是________(填序号)．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；②棱柱的一对互相平行的平面均可看作底面；③三棱锥的任何一个面都可看作底面；④棱台各侧棱的延长线交于一点．(2)关于如图所示几何体的正确说法的序号为________．①这是一个六面体.②这是一个四棱台.③这是一个四棱柱.④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到．⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．【解析】(1)结合有关多面体的定义及性质判断．对于①，还可能是棱台；对于②，只要看一个正六棱柱模型即知是错的；对于③，显然是正确的；④显然符合定义．故填③④.(2)①正确．因为有六个面，属于六面体的范围．②错误．因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确．③正确．如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱．④⑤都正确．如图所示．【答案】(1)③④(2)①③④⑤(1)棱柱的概念⇒实物体⇒棱柱的特征．(2)棱锥、棱台的判断⇒实物体⇒棱锥、棱台的特征．方法归纳在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义判断，这就要求熟悉各种空间几何体的概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断跟踪训练1(1)棱台不具备的特点是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点(2)给出下列几个命题，其中错误的命题是()A．棱柱的侧面都是平行四边形B．棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点C．多面体至少有四个面D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台解析：(1)由棱台的定义及特征知，A、B、D是棱台的特点，故选C.(2)根据各种几何体的概念与结构特征判断命题的真假．A、B均为真命题；对于C，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故C也是真命题；对于D，只有当截面与底面平行时才对．答案：(1)C(2)D利用棱柱、棱锥、棱台的定义来判断它们的结构特征．题型二多面体之间的包含关系[教材P100例1]例2将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体．【解析】如图所示．教材反思判断空间多面体之间的关系关键是弄清楚多面体、长方体、棱柱、棱锥、棱台、直棱柱、四面体、平行六面体的定义及结构特征，比如，长方体既是棱柱又是平行六面体，四面体是三棱锥，属于棱锥．跟踪训练2设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合间的关系是()A．QNMPB．QMNPC．QNMPD．QMNP解析：易知四种棱柱中正方体最特殊，直四棱柱最一般，而正四棱柱是底面为正方形的长方体．答案：D题型三简单几何体的判定[经典例题]例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【解析】(1)该长方体是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面.1．利用棱柱定义来判断．2．棱柱的分类以底面图形的形状来分类.方法归纳解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握，如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等，同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数．跟踪训练3如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体有几个面、几个顶点、几条棱？解析：这个几何体有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．观察图形计算出面、顶点、棱的个数，四边形ABCD是否是几何体的一个面易错.