2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.

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第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2三角恒等变换8.2.2两角和与差的正弦、正切第1课时两角和与差的正弦2学习目标核心素养1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式.(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题.(重点)1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导,培养学生的逻辑推理核心素养.2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用,提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.3自主预习探新知41.两角和与差的正弦公式(1)Sα+β:sin(α+β)=.(2)Sα-β:sin(α-β)=.sinαcosβ+cosαsinβsinαcosβ-cosαsinβ52.辅助角公式f(x)=asinx+bcosx=sin(x+θ)(a,b不同时为0),其中cosθ=,sinθ=.ba2+b2a2+b2aa2+b26思考:根据公式C(α±β)的识记规律,你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗?[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正,加减相反”可得公式S(α±β)的记忆规律:“正余余正,加减相同”.71.cos17°sin13°+sin17°cos13°的值为()A.12B.22C.32D.以上都不对A[原式=sin(13°+17°)=sin30°=12.]82.函数y=sinx-cosx的最小正周期是()A.π2B.πC.2πD.4πC[y=sinx-cosx=222sinx-22cosx=2sinx-π4,∴函数的最小正周期为T=2π.]93.已知α为锐角,sinα=35,β是第四象限角,cos(π+β)=-45,则sin(α+β)=________.100[∵α为锐角,且sinα=35,∴cosα=45.又β为第四象限角,且cos(π+β)=-cosβ=-45,∴cosβ=45,sinβ=-35.∴sin(α+β)=35×45+45×-35=0.]11合作探究提素养12利用公式化简求值【例1】(1)sin47°-sin17°cos30°cos17°=()A.-32B.-12C.12D.32(2)求sin157°cos67°+cos23°sin67°的值.(3)求sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)的值.13[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用.(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.14(1)C[sin47°-sin17°cos30°cos17°=sin17°+30°-sin17°cos30°cos17°=sin17°cos30°+cos17°sin30°-sin17°cos30°cos17°=cos17°sin30°cos17°=sin30°=12.]15(2)[解]原式=sin(180°-23°)cos67°+cos23°sin67°=sin23°cos67°+cos23°sin67°=sin(23°+67°)=sin90°=1.(3)[解]sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-3cos(θ+15°)=sin(θ+15°+60°)+cos(θ+15°+30°)-3cos(θ+15°)=sin(θ+15°)cos60°+cos(θ+15°)sin60°+cos(θ+15°)·cos30°-sin(θ+15°)sin30°-3cos(θ+15°)=12sin(θ+15°)+32cos(θ+15°)+32cos(θ+15°)-12sin(θ+15°)-3cos(θ+15°)=0.161.对于非特殊角的三角函数式,要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值,一般有以下三种途径:(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为正负相消的项,消去,求值;(3)化为分子、分母形式,进行约分再求值.2.在进行求值过程的变换中,一定要本着先整体后局部的基本原则,先整体分析三角函数式的特点,如果整体符合三角公式,则整体变形,否则进行各局部的变换.171.化简下列各式:(1)sinx+π3+2sinx-π3-3cos2π3-x;(2)sin2α+βsinα-2cos(α+β).18[解](1)原式=sinxcosπ3+cosxsinπ3+2sinxcosπ3-2cosxsinπ3-3cos2π3cosx-3sin2π3sinx=12sinx+32cosx+sinx-3cosx+32cosx-32sinx=12+1-32sinx+32-3+32cosx=0.19(2)原式=sin[α+β+α]-2cosα+βsinαsinα=sinα+βcosα-cosα+βsinαsinα=sin[α+β-α]sinα=sinβsinα.20给值(式)求值【例2】设α∈π2,π,β∈3π2,2π,若cosα=-12,sinβ=-32,求sin(α+β)的值.[思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值.21[解]因为α∈π2,π,cosα=-12,所以sinα=32,因为β∈3π2,2π,sinβ=-32,所以cosβ=12.所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=32×12+-12×-32=32.221.(变结论)若条件不变,试求sin(α-β)+cos(α-β)的值.[解]sin(α-β)+cos(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=32×12--12×-32+-12×12+32×-32=34-34-14-34=-1.232.(变条件)若将角β的条件改为第三象限,其他条件不变,则结果如何?[解]因为α∈π2,π,cosα=-12,所以sinα=32.因为β为第三象限,所以cosβ=-12.所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=32×-12+-12×-32=-34+34=0.241.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.25辅助角公式的应用[探究问题]1.函数f(x)=sinx+cosx(x∈Z)的最大值为2对吗?为什么?[提示]不对.因为sinx+cosx=222sinx+22cosx=2sinx·cosπ4+cosx·sinπ4=2sinx+π4,所以函数的最大值为2.262.函数f(x)=3sinx+4cosx的最大值等于多少?[提示]因为f(x)=3sinx+4cosx=535sinx+45cosx,令cosφ=35,sinφ=45,则f(x)=5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin(x+φ),所以函数的最大值为5.273.如何推导asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)tanφ=ba公式?[提示]asinx+bcosx=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx,令cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2,则asinx+bcosx=a2+b2(sinxcosφ+cosxsinφ)28=a2+b2sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a,b的符号确定,φ角的值由tanφ=ba确定,或由sinφ=ba2+b2和cosφ=aa2+b2共同确定).29【例3】设函数f(x)=sinx+sinx+π3.(1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合;(2)不画图,说明函数y=f(x)的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变化得到.[思路探究]辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并.30[解](1)f(x)=sinx+sinxcosπ3+cosxsinπ3=sinx+12sinx+32cosx=32sinx+32cosx=3sinxcosπ6+cosxsinπ6=3sinx+π6,当sinx+π6=-1时,f(x)min=-3,31此时x+π6=3π2+2kπ(k∈Z),所以x=4π3+2kπ(k∈Z).所以f(x)的最小值为-3,x的集合为xx=4π3+2kπ,k∈Z.32(2)将y=sinx的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得y=3sinx的图像;然后将y=3sinx的图像上所有的点向左平移π6个单位长度,得f(x)=3sinx+π6的图像.33(变结论)例题中的条件不变,试求函数f(x)的单调区间?[解]由本例解析知函数可化为f(x)=3sinx+π6,当2kπ-π2≤x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),即2kπ-2π3≤x≤2kπ+π3(k∈Z)时,函数为增函数;34当2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2,即2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3(k∈Z)时,函数为减函数.所以函数f(x)的单调增区间为2kπ-2π3,2kπ+π3(k∈Z),函数f(x)的单调减区间为2kπ+π3,2kπ+4π3(k∈Z).351.把所给函数展开,合并化简,然后利用辅助角公式化成y=Asin(ωx+φ)的形式求解.2.函数图像可通过y=sinx→y=sinx+π6→y=3sinx+π6的顺序得到.361.两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的α,β均为任意角.(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例.372.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3.使用和差公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式.38当堂达标固双基391.若cosα=-45,α是第三象限的角,则sinα+π4=()A.-7210B.7210C.-210D.21040A[∵cosα=-45,α为第三象限角,∴sinα=-35,由两角和的正弦公式得sinα+π4=sinαcosπ4+cosα·sinπ4=-35×22+-45×22=-7210.]412.函数f(x)=sinx-cosx+π6的值域为()A.[-2,2]B.-3,3C.[-1,1]D.-32,32B[f(x)=sinx-cosx+π6=sinx-32cosx+12sinx=32sinx-32cosx=3sinx-π6,所以函数f(x)的值域为[-3,3].故选B.]423.sin155°cos35°-cos25°cos235°=________.32[原式=sin25°cos35°+cos25°sin35°=sin(25°+35°)=sin60°=32.]434.已知α,β均为锐角,sinα=55,cosβ=1010,求α-β.[解]∵α,β均为锐角,sinα=55,cosβ=1010,∴sinβ=31010,cosα=255.∵sinαsinβ,∴αβ,∴-π2α-β0,44∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=55×1010-255×31010=-22,∴α-β=-π4.Thankyouforwatching!

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