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第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.2向量数量积的运算律2学习目标核心素养1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)2.能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点，难点)1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.3自主预习探新知41.两个向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝.(2)结合律：(λa)·b＝(λ∈R)．(3)分配律：(a＋b)·c＝.b·aλ(a·b)a·c＋b·c5思考1：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：(1)实数a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.(2)向量a，b的数量积的分配律：(a＋b)·c＝____.[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c62.重要公式：平方差公式(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式(a±b)2＝a2±2a·b＋b2a2－b27思考2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；向量数量积公式：(a±b)2＝__________.[提示](1)a2－b2；a2－b2(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b281.下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1B．2C．3D．4C[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2，选C．]92.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是()A．0B．aC．bD．cB[b·c＝|b||c|cos45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]103.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝()A．2B．23C．6D．12D[∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12.]114．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b||a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．12①③④[根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b||a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]13合作探究提素养14利用向量数量积的运算律计算【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.15(2)(2019·东营高一检测)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝3e1－e2，b＝e1＋λe2.①若a⊥b，求实数λ的值；②若a与b的夹角为60°，求实数λ的值．[思路探究](1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算．(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值．16(1)18[在平行四边形ABCD中，得BD→＝BA→＋BC→，AC→＝BC→－BA→.由AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，得AP→·BD→＝AP→·(BA→＋BC→)＝0⇒AP→·BC→＝－AP→·BA→.所以AP→·AC→＝AP→·(BC→－BA→)＝AP→·BC→－AP→·BA→＝－2AP→·BA→＝2AP→·AB→＝2|AP→||AB→|cos〈AP→，AB→〉＝2|AP→|2＝18.]17(2)[解]①由a⊥b,得a·b＝0，则(3e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得3e21＋3λe1·e2－e1·e2－λe22＝0，3－λ＝0，所以λ＝3.②因为3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos〈3e1－e2，e1＋λe2〉＝12，且3e1－e2·e1＋λe2＝3e21＋3λe1·e2－e1·e2－λe22＝3－λ，|3e1－e2|＝3e1－e22＝3e21－23e1·e2＋e22＝2，|e1＋λe2|＝e1＋λe22＝e21＋2λe1·e2＋λ2e22＝1＋λ2，∴3－λ＝2×1＋λ2×cos60°＝1＋λ2，解得λ＝33.18利用向量数量积的运算律计算的注意事项1计算λa＋μb·λa＋μb，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.2三个实数的积满足结合律abc＝abc＝acb，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：a·b·c＝a·b·c＝a·c·b，这是因为上式的本质为λc＝μa＝kb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.191.已知△ABC外接圆半径是1，圆心为O，且3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，则OC→·AB→＝()A．85B．75C．－15D．4520C[由3OA→＋4OB→＋5OC→＝0，得5OC→＝－3OA→－4OB→，两边平方，得25OC→2＝9OA→2＋16OB→2＋24OA→·OB→，因为△ABC外接圆半径是1，圆心为O，所以25＝9＋16＋24OA→·OB→，即OA→·OB→＝0.所以OC→·AB→＝15(5OC→)·(OB→－OA→)＝15(－3OA→－4OB→)·(OB→－OA→)＝15(－3OA→·OB→＋3OA→2－4OB→2＋4OA→·OB→)＝－15.]21利用平面向量的数量积证明几何问题【例2】如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE.[思路探究]借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算AD→·CE→＝0完成证明．22[证明]设此等腰直角三角形的直角边长为a，则AD→·CE→＝AC→＋CD→·CA→＋AE→＝AC→·CA→＋CD→·CA→＋AC→·AE→＋CD→·AE→＝－a2＋0＋a·223a·22＋a2·223a·22＝－a2＋23a2＋13a2＝0.所以AD⊥CE.23利用向量法证明几何问题的方法技巧1利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.2进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.3将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.242.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足|CE→|＝2|DE→|，如图所示，设AB→＝a，AD→＝b.(1)用a，b表示BE→；(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求|AF→|；若不存在，请说明理由．25[解](1)根据题意得：BC→＝AD→＝b，CE→＝23CD→＝23BA→＝－23AB→＝－23a，∴BE→＝BC→＋CE→＝b－23a；26(2)结论：在线段BC上存在使得4|BF→|＝|BC→|的一点F满足AF⊥BE，此时|AF→|＝214.理由如下：设BF→＝tBC→＝tb，则FC→＝(1－t)b，(0≤t≤1)，∴AF→＝AB→＋BF→＝a＋tb，∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos60°＝12，27∵AF⊥BE，∴AF→·BE→＝(a＋tb)·b－23a＝1－23ta·b－23a2＋tb2＝1－23t×12－23＋t＝0，解得t＝14，从而AF→＝a＋14b，∴|AF→|＝AF→2＝a2＋12a·b＋116b2＝1＋12×12＋116＝214.281.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较实数a，b，c向量a，b，ca≠0，a·b＝0⇒b＝0a≠0，a·b＝0⇒/b＝0a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)⇒/a＝c|a·b|＝|a|·|b||a·b|≤|a|·|b|满足乘法结合律不满足乘法结合律292.知识导图交换律——数量积运算律——结合律∣分配律30当堂达标固双基311.已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝()A．2B．3C．5D．－5C[因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5.]322.已知▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，N为DC的中点，BM→＝2MC→，则AM→·NM→＝()A．2B．5C．6D．833C[AM→·NM→＝(AB→＋BM→)·(NC→＋CM→)＝AB→＋23AD→·12AB→－13AD→＝12AB→2－29AD→2＝12×42－29×32＝6.故选C．]343.已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝()A．2B．3C．4D．6A[因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cos120°＋4＝4.所以|a＋2b|＝2.]354．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.3[因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos30°＝1，即|b|2－23|b|＋3＝0，所以(|b|－3)2＝0，所以|b|＝3.]Thankyouforwatching!