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第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1向量的数量积8.1.1向量数量积的概念2学习目标核心素养1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点)1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养．2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.3自主预习探新知41.两个向量的夹角给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则称[0，π]内的为向量a与向量b的夹角，记作_____．(1)两个向量夹角的取值范围是，且〈a，b〉＝．(2)当〈a，b〉＝___时，称向量a与向量b垂直，记作.∠AOB[0，π]〈b，a〉π2a⊥b〈a，b〉52.向量数量积的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝．(1)当〈a，b〉∈0，π2时，a·b0;当〈a，b〉＝π2时，a·b0；当〈a，b〉∈π2，π时，a·b0.|a||b|cos〈a，b〉|a||b|·cos〈a，b〉＝6(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：不等式|a·b|____|a||b|恒等式a·a＝a2＝_____，即|a|＝向量垂直的充要条件a⊥b⇔______＝0≤|a|2a·aa·b73.向量的投影与向量数量积的几何意义(1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则为向量a在向量b上的投影的数量．(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的____________与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．|a|cos〈a，b〉投影的数量81.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为π3，则a在b方向上的投影为()A．332B．322C．12D．32D[向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cosπ3＝32.故选D．]92.在△ABC中，AB→＝a，BC→＝b，且b·a＝0，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定C[在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．]103.如图，在△ABC中，AC→，AB→的夹角与CA→，AB→的夹角的关系为________．互补[根据向量夹角定义可知向量AB→，AC→夹角为∠BAC，而向量CA→，AB→夹角为π－∠BAC，故二者互补．]114．如图所示，一个大小为5N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．128J6J[拉力F对小车做的功WF＝FScosθ＝5×2×0.8J＝8J，小车克服阻力做的功为W克f＝－Wf＝3×2J＝6J．]13合作探究提素养14平面向量的夹角【例1】(1)(2019·东营高一检测)已知向量|a|＝2，|b|＝3，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝()A．π6B．2π3C．3π4D．5π6(2)已知△ABC中，AB＝4，BC＝2，AB→·BC→＝－4，则向量BC→与CA→的夹角为________，向量AB→与CA→的夹角为________．15[思路探究](1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角．(2)先由向量的数量积公式计算B，再由平面几何性质计算∠ACB，∠BAC，最后求向量的夹角．16(1)D(2)90°150°[(1)因为向量|a|＝2，|b|＝3，且a·b＝－3，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－32，又〈a，b〉∈[0,π]，所以〈a，b〉＝5π6.17(2)在△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，AB→·BC→＝－4，所以|AB→||BC→|cos〈AB→，BC→〉＝－4，得4×2cos(π－B)＝－4，所以cosB＝12，得B＝60°.如图，延长BC到D，使CD＝BC，则△ABD为等边三角形，所以AC⊥BC，∠BAC＝30°，所以向量BC→与CA→的夹角为90°，AB→与CA→的夹角为150°.]18求平面向量的夹角的方法技巧1已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cos〈a，b〉＝a·b|a||b|，若是特殊角，再求向量的夹角.2在△ABC中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.191.若两个单位向量的数量积等于－1，则这两个单位向量的夹角为()A．0B．π2C．2π3D．πD[设两个单位向量分别为e1，e2，则e1·e2＝cos〈e1，e2〉＝－1，由于〈e1，e2〉∈[0,π]，所以〈e1，e2〉＝π.]202.已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，则sin〈a，b〉＝________.223[因为a是单位向量，且3a·b＝|b|，则3|a||b|cos〈a，b〉＝|b|，得cos〈a，b〉＝13，又sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉＝1，得sin2〈a，b〉＝89.又0≤〈a，b〉≤π，得sin〈a，b〉＝223.]21与向量数量积有关的概念【例2】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；②如果向量a与b满足a·b0，则a与b所成的角为钝角；③△ABC中，如果AB→·BC→＝0，那么△ABC为直角三角形；④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.(2)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则BA→·BC→＝________.22[思路探究]根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．23(1)③④(2)8[(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cosθ(θ为向量a，b的夹角)．①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；②若a·b0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；③由AB→·BC→＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．24(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．因为AB＝AC，所以BD＝12BC＝2，于是|BA→|cos∠ABC＝|BD→|＝12|BC→|＝12×4＝2，所以BA→·BC→＝|BA→||BC→|cos∠ABC＝4×2＝8.]251.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．2.求平面向量数量积的方法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.263.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________．(填序号)27①②⑥[由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；28⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b0，因此⑦错；|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．]29平面向量数量积的几何意义【例3】(1)(2019·永州高一检测)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为32，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°(2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，则a在b上投影的数量为________，b在a上投影的数量为________．30[思路探究](1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉，再求向量的夹角．(2)先由平面向量数量积的公式计算cos〈a，b〉，再计算投影的数量．31(1)A(2)－23－2[(1)因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为32，则|b|cos〈a，b〉＝32，得cos〈a，b〉＝32，因为〈a，b〉∈[0,π]，所以〈a，b〉＝π6＝30°.32(2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，所以|a||b|cos〈a，b〉＝－4，得cos〈a，b〉＝－13.所以a在b上投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝－23，b在a上投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝－2.]33关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项1向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数.2向量a在向量b上的投影的数量是|a|cos〈a，b〉，向量b在向量a上的投影的数量是|b|cos〈a，b〉，二者不能混为一谈.344．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则AB→·AC→的值为()A．rB．2rC．1D．235D[如图，作AB的中点H，连接CH，则向量AC→在AB→方向上的投影的数量为AH＝|AC→|cos∠CAB，所以AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos∠CAB＝|AB→||AH→|＝2.]365．已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝________.6[因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝(|a|cos〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.]371.对正投影的三点诠释(1)a·b等于|a|与b在a方向上的正投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正投影的乘积．其中a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影是不同的．(2)b在a方向上的正投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.(3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．382.知识导图物理背景——向量数量积——概念公式∣几何意义与变形公式39当堂达标固双基401.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝π3，则a·b＝()A．2B．3C．6D．0B[因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝π3，则a·b＝|a||b|cosπ3＝2×3×12＝3.]412.已知平面向量|a|＝1，|b|＝2，则a2＋b2＝()A．2B．3C．5D．－5C[因为|a|＝1，|b|＝2，所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5.]423.已知向量|a|＝6，|b|＝2，向量a，b的夹角为120°，则向量a在b上的投影的数量为()A．1B．3C．－1D．－3D[根据向量数量积的几何意义，向量a在b上的投影的数量为|a|cos120°＝6×－12＝－3.]434．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，CD→和AC→的夹角为________．45°135°[等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB,CD和AC的夹角为45°，CD→和AC→的夹角为135°.]Thankyouforwatching!