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课时作业38平面与平面垂直的性质知识对点练知识点一平面与平面垂直的性质1.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B答案解析根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.解析2．下列说法错误的是()A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β＝l，则l一定垂直于平面v答案C答案解析C错误，平面α⊥平面β，在平面α内，平行于α，β交线的直线和平面β平行．解析3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部答案A答案解析连接AC1，∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A.解析4．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，现将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则三棱锥A－BCD的体积为________．答案26答案解析作AH⊥BD于H，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AH⊥平面BCD.易得∠BDC＝90°.由AB＝AD＝1，得BD＝2，则CD＝2.AH＝ABsin45°＝22，∴VA－BCD＝13S△BCD·AH＝13×12×2×2×22＝26.解析知识点二平面与平面垂直的应用5．如图，在平行四边形ABCD中，BD＝23，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.求证：AB⊥DE.证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝23，∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.答案6．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AA1的中点．求证：平面B1EC⊥平面BCC1B1.证明如图，取BC，B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，由E，F，G分别为AA1，BC，B1C的中点，知FG綊12BB1綊AE，所以四边形AEGF为平行四边形，所以AF∥EG.答案在直三棱柱中，由平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1∩平面ABC＝BC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，所以EG⊥平面BCC1B1.又EG⊂平面B1EC，所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.答案课时综合练一、选择题1．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()A．直线a垂直于第二个平面B．直线b垂直于第一个平面C．直线a不一定垂直于第二个平面D．过a的平面必垂直于过b的平面解析直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．解析答案C答案2．下列命题错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊥m，那么m不一定垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D答案解析A中结合正方体，可知此命题正确；B中，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直，故此命题正确；C中，当m⊂α时，m⊥β，当m⊄α时，m可能在β内，也可能与β斜交或平行，故m不一定垂直于平面β；D中，举反例，教室侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直于地面的，故此命题错误．故选D.解析3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是()A．②③B．①②C．①③D．①④解析上下面射影选①，前后左右面射影选④.解析答案D答案4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．∠BAC＝90°C．CA与平面ABD所成的角为30°D．三棱锥A－BCD的体积为13答案B答案解析在三棱锥A－BCD中，取BD的中点O，连接AO，OC.∵AB＝AD，∴AO⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴AO⊥平面BCD.∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设AC⊥BD，又AC∩AO＝A，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥OC，与OC不垂直于BD矛盾，∴AC不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD，∴AC＝2.∵AB＝1，BC＝BD2＋CD2＝3，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，B正确．∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角，∠CAD＝45°，C错误．VA－BCD＝13S△ABD·CD＝16，D错误．故选B.解析5．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()A．平行B．共面C．垂直D．不垂直答案C答案解析如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.解析二、填空题6.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.答案5答案解析∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝PA2＋AB2＝1＋4＝5.解析7．已知m，n为直线，α，β为空间的两个平面．给出下列命题：①m⊥α，m⊥n⇒n∥α；②m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m∥n；③m⊥α，m⊥β⇒α∥β；④m⊥β，n⊥β⇒m∥n.其中正确的命题为________(填序号)．答案③④答案解析对于①，会有n⊂α的情况，因此不正确；对于②，会有m，n异面的情况，因此不正确；容易验证③④都是正确的．故填③④.解析8．如图，四面体P－ABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案13答案解析取AB的中点E，连接PE，EC.∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴CE＝5.∵PA＝PB＝13，E是AB的中点，∴PE⊥AB，PE＝12.∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴PE⊥平面ABC.∵CE⊂平面ABC，∴PE⊥CE.在Rt△PEC中，PC＝PE2＋CE2＝13.解析三、解答题9.如图，三棱锥P－ABC中，∠ABC＝90°，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.答案10．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形，∴BE∥AD.又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.答案(3)∵AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，∴BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF.∵CD⊥BE，EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF.∵CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.答案本课结束