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课时作业37平面与平面垂直的判定知识对点练知识点一二面角1.给出下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中真命题是()A．①③B．②④C．③④D．①②解析对于①，显然混淆了平面与半平面的概念，错误；对于②，因为a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，正确；对于③，因为所作射线不一定垂直于棱，所以错误；④正确．故选B.解析答案B答案2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角C1－AB－C的大小为________．答案45°答案解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，大小为45°.解析知识点二平面与平面垂直的判定3．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，则图中互相垂直的平面共有()A．2对B．3对C．4对D．5对答案B答案解析如图所示．因为PA⊥平面ACB，PA⊂平面PAC，PA⊂平面PAB，所以平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB.因为PA⊥平面ACB，CB⊂平面ACB，所以PA⊥CB.解析又AC⊥CB，且PA∩AC＝A，所以CB⊥平面PAC.又CB⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.共有：平面PAC⊥平面ACB，平面PAB⊥平面ACB，平面PAC⊥平面PCB.故选B.解析4．设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是()①若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；②若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；③若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；④若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①③B．②④C．①④D．②③答案B答案解析①错误，当两平面不垂直时，也能在两个平面内找到互相垂直的直线；③错误，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两平面的交线垂直.解析知识点三平面与平面垂直的证明5．如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F.求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.证明(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA⊥圆O所在的平面，即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又AE⊥PC，PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.答案(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.答案6．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：平面EFG⊥平面EMN.证明∵E，F分别为PB，AB的中点，∴EF∥PA.∵AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理，AB⊥FG.∵EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，∴AB⊥平面EFG.∵M，N分别为PD，PC的中点，∴MN∥CD.∵AB∥CD，∴MN∥AB，∴MN⊥平面EFG.∵MN⊂平面EMN，∴平面EFG⊥平面EMN.答案课时综合练一、选择题1．若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角()A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定答案D答案解析如图所示，设平面ABCN⊥平面BCPQ，平面EFDG⊥平面ABCN，GD⊥平面BCPQ，当平面HDGM绕DG转动时，平面HDGM始终与平面BCPQ垂直，因为二面角H－DG－F的大小不确定，所以两个二面角的大小关系不确定．解析2．如图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A答案解析∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，AD⊥PA.又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.∵AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.解析3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案C答案解析如图，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．解析4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥CD，构成几何体A－BCD，则在几何体A－BCD中，下列结论正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D答案解析∵CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.解析5．在二面角α－l－β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°，AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是()A．30°B．30°或45°C．45°D．45°或135°答案D答案解析如图所示，设AB与l交于一点C，在AB上任取一点M，过M作MN⊥β于N，过M作ME⊥l于E，连接NE，则NE⊥l.∠NEM为二面角α－l－β的平面角或它的补角，连接NC.解析∵∠BCE＝45°，∠BCN＝30°.设ME＝x，则MC＝2x，MN＝22x.在Rt△MNE中，sin∠NEM＝NMME＝22xx＝22，∴∠NEM等于45°或135°，故选D.解析二、填空题6．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C.若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为________．答案60°或120°答案解析如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC.设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°.解析7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①点H是△A1BD的中心；②AH垂直于平面CB1D1；③直线AC1与直线B1C所成的角是90°.其中正确结论的序号是________．答案①②③答案解析①正确，连接A1H，BH，DH.因为AB＝AD＝AA1，AH⊥平面A1BD，所以Rt△ABH≌Rt△ADH≌Rt△AA1H，所以HB＝HD＝HA1.又△A1BD是等边三角形，所以点H是△A1BD的中心．②正确，因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，CD∥AB，CD＝AB，所以A1B1∥CD，且A1B1＝CD，所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，所以B1C∥平面A1BD.同理可证B1D1∥平面A1BD.又B1C∩B1D1＝B1，所以平面CB1D1∥平面A1BD.又AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1.解析③正确，连接BC1，AC1，AD1，因为四边形BCC1B1是正方形，所以B1C⊥BC1.因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，所以B1C⊥AB.又BC1∩AB＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.又AC1⊂平面ABC1D1，所以AC1⊥B1C，所以直线AC1与直线B1C所成的角是90°.解析8．如图，P是二面角α－AB－β的棱AB上一点，分别在α，β上引射线PM，PN，截PM＝PN.若∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，则二面角α－AB－β的大小是________．答案90°答案解析在α内过点M作MO⊥AB于点O，连接NO，设PM＝PN＝a.∵∠BPM＝∠BPN＝45°，∴△OPM≌△OPN，∴NO⊥AB，∴∠MON为二面角α－AB－β的平面角．连接MN.∵∠MPN＝60°，∴MN＝a.又MO＝NO＝22a，∴MO2＋NO2＝MN2，∴∠MON＝90°.解析三、解答题9．如图所示，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD.(1)求证：平面ABD⊥平面ACD；(2)若AB＝2BD，求二面角A－DC－B的正弦值．解(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BD⊥CD且BD∩AB＝B.∴CD⊥平面ABD.又CD⊂平面ACD.∴平面ABD⊥平面ACD.(2)由(1)知∠ADB为二面角A－DC－B的平面角．在Rt△ABD中，AB＝2BD，∴AD＝AB2＋BD2＝5BD，答案∴sin∠ADB＝ABAD＝255.即二面角A－DC－B的正弦值为255.答案10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB.(1)若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P－CD－B的大小；(2)若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．解(1)∵AB⊥AD，CD∥AB，∴CD⊥AD，又PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，∴∠PDA即是二面角P－CD－B的平面角．又直线PB与CD所成的角为45°，∴∠PBA＝45°，∴PA＝AB.答案∴在Rt△PAD中，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，即二面角P－CD－B的大小为45°.(2)当点E在线段PC上，且满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.理由如下：连接AC交BD于点O，连接EO.由△AOB∽△COD，且CD＝2AB，得CO＝2AO，∴PE∶EC＝AO∶CO＝1∶2，∴PA∥EO.答案∵PA⊥底面ABCD，∴EO⊥底面ABCD.又EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.∴在线段PC上存在点E，满足PE∶EC＝1∶2时，平面EBD⊥平面ABCD.答案本课结束