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课时作业36直线与平面垂直的性质知识对点练知识点一直线与平面垂直的性质1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案B答案解析∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．解析2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案D答案解析根据题意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或异面，故选D.解析3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________．解析将b平移至c，且使a与c相交，则a，c确定一个平面，记作平面α.∵l⊥b，m⊥b，∴l⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l⊥平面α，m⊥平面α，∴l∥m.解析答案l∥m答案4．如图所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l⊥EA，l⊥EB.又∵EA∩EB＝E，EA⊂平面EAB，EB⊂平面EAB，∴l⊥平面EAB.又a⊂α，EA⊥α，∴a⊥EA.又a⊥AB，AB∩EA＝A，AB⊂平面EAB，EA⊂平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.答案5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.答案知识点二平行、垂直关系的综合问题6.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一一条直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一一条直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一一个平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一一个平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案C答案解析过直线a上任意一点P，作b的平行线c，由a，c相交确定一个平面α.直线l只需垂直于平面α，就会与a，b都垂直，这样的直线有无数条，故A错误．根据异面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.故选C.解析7．给出下列命题：①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，a∥b⇒b⊥α；③a⊥α，b∥α⇒a⊥b；④a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α；⑤a∥α，a⊥b⇒b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a⇒b∥α.其中真命题的个数是()A．3B．4C．5D．6答案A答案解析因为a⊥α，所以a垂直于平面α内的任意直线，所以①正确．若两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直，所以②正确．由线面垂直，线线、线面平行的性质知，若a⊥α，b∥α，则a⊥b，所以③正确．由线面垂直的判定定理可知，④不正确．当a∥α，a⊥b时，b可能与α平行、垂直、斜交或b在α内，所以⑤不正确．当a⊥α，b⊥a时，b可能与α平行，b也可能在α内，故⑥不正确．解析课时综合练一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案B答案解析∵△ABC所在平面为α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥α，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，∴m⊥α，∴l∥m.解析2．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．内心C．外心D．重心解析设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO.解析答案C答案3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案D答案解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.解析4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小()A．变大B．变小C．不变D．有时变大有时变小答案C答案解析∵直线l⊥平面ABC，∴l⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC⊥PC，即∠PCB为直角，即∠PCB的大小与点P的位置无关，故选C.解析5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FH答案B答案解析因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.解析二、填空题6．地面上有两根旗杆，底端相距a米，它们的高分别是b米和c米(bc)，则它们顶端的距离为________米．答案a2＋b－c2答案解析如图，由于两旗杆都与地面垂直，故两旗杆AD与BC平行，且四边形ABCD是直角梯形，设AD＝c米，BC＝b米，过D作DE⊥BC于E，则DE＝a米，CE＝(b－c)米，所以DC＝a2＋b－c2(米)．解析7．边长为a的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为BC的中点，将△AED，△BEF和△DCF分别沿DE，EF和DF折起使A，B，C重合于一点A′，则三棱锥A′－EFD的体积为________．解析以等腰直角三角形A′EF为底，DA′为高，易求三棱锥的体积．解析答案a324答案8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．当CFFD＝________时，D1E⊥平面AB1F.答案1答案解析连接A1B，则A1B是D1E在平面ABB1A1内的射影．∵AB1⊥A1B，AB1⊥BC，∴AB1⊥平面A1BED1.∵D1E⊂平面A1BED1，∴D1E⊥AB1.若D1E⊥平面AB1F，则D1E⊥AF.连接DE，∵AF⊥DD1，D1E∩DD1＝D1，∴AF⊥平面D1ED.又DE⊂平面D1ED，解析∴DE⊥AF.∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.∴当CFFD＝1时，D1E⊥平面AB1F.解析三、解答题9．如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：CFDC＝CEBC.证明∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴CFDC＝CEBC.答案10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)如图所示，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.答案∴ON綊12CD綊12AB，∴ON∥AM.又MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形，∴AM＝ON＝12AB，即M是AB的中点．答案本课结束