2019-2020学年新教材高中数学 第8章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 课时作业3

课时作业34直线与直线垂直知识对点练知识点一异面直线所成的角1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝2，则异面直线AC1与BB1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C答案解析如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝A1C1AA1＝32＋322＝3，所以∠A1AC1＝60°，故选C.解析2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案C答案解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.解析3．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，求：(1)A′B和AD′所成的角；(2)D′B和AC所成的角．解(1)如图，连接BC′，A′C′，∵AD′∥BC′，∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝2a，∴∠A′BC′＝60°，∴A′B和AD′所成的角为60°.答案(2)如图，连接BD，与AC交于点O，则O为AC的中点，取DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′，则∠AOE即为AC与BD′所成的角．连接AE，CE，则AE＝CE，∴△ACE为等腰三角形．∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°.∴D′B和AC所成的角为90°.答案知识点二异面直线的垂直4.长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A．6条B．8条C．10条D．12条解析12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．解析答案B答案5．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c共面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a∥c，则b⊥c.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B答案解析①不正确，如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③正确，故选B.解析6.如图所示，在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且AEED＝BFFC＝12，EF＝5，求证：AB⊥CD.证明如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF.∵EO∥AB，∴BOOD＝AEED＝12，EOAB＝DEDA＝23.又AB＝3，∴EO＝2.答案∵BFFC＝12，∴BOOD＝BFFC，∴OF∥DC.∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AB和CD所成的角．∴OFDC＝BFBC＝13.∵DC＝3，∴OF＝1.在△OEF中，∵OE2＋OF2＝5，EF2＝(5)2＝5，∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°.∴AB和CD所成的角为90°.∴AB⊥CD.答案课时综合练一、选择题1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们()A．一定相交B．是异面直线C．是共面直线D．一定不平行解析由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选D.解析答案D答案2．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M和CN所成角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°答案A答案解析如图，取AA′的中点E，连接BE，EN，则BE∥NC，∴异面直线B′M和CN所成的角就是直线BE与直线B′M所成的锐角(或直角)，根据△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴异面直线B′M和CN所成的角为90°.解析3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22答案C答案解析如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．解析因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，所以DE1＝DE2＋EE21＝12＋32＝2，DB1＝12＋12＋32＝5，B1E1＝A1B21＋A1E21＝12＋22＝5，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝22＋52－522×2×5＝55，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.故选C.解析4．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点．若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案A答案解析取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角．∵EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH＝90°.∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.解析5．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有()A．3条B．2条C．1条D．0条答案B答案解析可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，则∠BPE＝17°，∠EPD＝163°，则∠BPE的角平分线与直线a，b所成的角均为8.5°，∠EPD的角平分线与直线a，b所成的角均为81.5°.因为8.5°9°81.5°，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条(直线c，d)，故选B.解析二、填空题6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和BD所成的角是________．答案60°答案解析∵EF∥AB1，BD∥B1D1，∴∠AB1D1为异面直线EF，BD所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，∴∠AB1D1＝60°.解析7．如图所示，空间四面体A－BCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝5，则异面直线AC与BD所成的角为________．答案90°答案解析如图，取AD的中点P，连接PM，PN.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴PM∥BD，PN∥AC，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角．解析∵AC＝8，BD＝6，∴PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3.又MN＝5，在△PMN中，由勾股定理知∠MPN＝90°.故异面直线AC和BD所成的角为90°.解析8．已知a，b为异面直线，且a，b所成的角为40°，过空间一点作直线c，直线c与a，b均异面，且所成的角均为θ.若这样的直线c共有四条，则θ的取值范围为________．答案{θ|70°θ90°}答案解析设平面α上的两条直线m，n分别满足m∥a，n∥b，且m，n相交，夹角为40°.若直线c与a，b均异面，且所成的角均为θ，则直线c与m，n所成的角均为θ.当0°≤θ20°时，不存在这样的直线c；当θ＝20°时，这样的直线c只有一条；当20°θ70°时，这样的直线c有两条；当θ＝70°时，这样的直线c有三条；当70°θ90°时，这样的直线c有四条；当θ＝90°时，这样的直线c只有一条．故θ的取值范围为{θ|70°θ90°}．解析三、解答题9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点．求证：A1E⊥GF.证明如图，连接B1G，EG.由于E，G分别是DD1和CC1的中点，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1.答案∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．连接B1F，则FG＝3，B1G＝2，B1F＝5.∵FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°，∴A1E⊥GF.答案10．如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)若AC⊥DE，且AC＝3BC，求异面直线DE与PN所成角的大小．解(1)证明：∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，∴PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线．∴PQ∥DE，MN∥DE，∴PQ∥MN，∴M，N，P，Q四点共面．(2)∵PN为△ABE的中位线，∴PN∥AB.又BC∥DE，答案∴∠ABC即为异面直线DE与PN所成的角或其补角．又AC⊥DE，∴AC⊥BC，在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ACBC＝3BCBC＝3，∴∠ABC＝60°.∴异面直线DE与PN所成的角为60°.答案本课结束