2019-2020学年新教材高中数学 第7章 复数 7.3 复数的三角表示 课时作业21 复数乘、除

课时作业21复数乘、除运算的三角表示及其几何意义知识对点练知识点一复数三角形式乘法运算的三角表示及其几何意义1．在复平面内，把复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A．23B．－23iC．3－3iD．3＋3i答案B答案解析∵由题意知复数3－3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3－3i)cos－π3＋isin－π3＝(3－3i)12－3i2＝－23i.故选B．解析2．已知z1＝2cosπ12＋isinπ12，z2＝cos5π12＋isin5π12，求z1z2，请把结果化为代数形式，并作出几何解释．解z1z2＝2cosπ12＋isinπ12cos5π12＋isin5π12＝2cosπ12＋5π12＋2isinπ12＋5π12答案＝2cosπ2＋2isinπ2＝0＋2i×1＝2i.首先作与z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→，然后把向量OZ1→绕点O按逆时针方向旋转5π12，再保持某长度不变，这样得到一个长度为2，辐角为π2的向量OZ→，OZ→即为积z1z2＝2i所对应的向量．答案3．把复数z1与z2所对应的向量OA→，OB→分别按逆时针方向旋转π4和5π3后，重合于向量OM→，且模相等．已知z2＝－1－3i，求复数z1的代数式和它的辐角主值．解在复平面上B(－1，－3)，向量OB→逆时针旋转5π3得到向量OM→，|OB→|＝2＝|OM→|，依题意OM→顺时针旋转π4后模不变，得到向量OA→，则|OA→|＝2.答案若z1＝a＋bi(a，b∈R)，则a＝2cos3π4＝－2，b＝2sin3π4＝2，∴z1＝－2＋2i.argz1＝3π4.答案知识点二复数三角形式除法运算的三角表示及其几何意义4．设z＝r(cosθ＋isinθ)．求1z的三角表示．解因为1z＝z－|z|2，|z|＝r，z－＝r(cosθ－isinθ)，故1z＝1r(cosθ－isinθ)＝1r[cos(－θ)＋isin(－θ)]．答案5．已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝7，求z1z2.解设z1，z2在复平面内分别对应点A，B．在△AOB中，|OA|＝|z1|＝3，|OB|＝|z2|＝5，|AB|＝|z1－z2|＝7.∴cos∠AOB＝|OA|2＋|OB|2－|AB|22|OA||OB|＝－12，即argz1z2＝2π3或argz1z2＝4π3，又z1z2＝35，∴z1z2＝35cos2π3＋isin2π3＝－310＋3310i或z1z2＝35cos4π3＋isin4π3＝－310－3310i.答案知识点三复数三角形式的综合应用6.已知复数z＝32－12i，ω＝22＋22i，复数zω，z2ω3在复平面上所对应的点分别为P，Q，证明：△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点)．证明∵z＝32－12i＝cos－π6＋isin－π6∴z3＝－i.又ω＝22＋22i＝cosπ4＋isinπ4，答案∴ω4＝－1.从而z2ω3zω＝z2ω3zω·zωzω＝z3ω4|z|2·|ω|2＝i.故|OP||OQ|＝1，即|OP|＝|OQ|且OP→与OQ→的夹角为π2.∴△OPQ是等腰直角三角形．答案7．设复数z1＝cosθ＋isinθ0≤θ＜π，θ≠π2，z2＝z1i＋1，z1，z2分别对应复平面上的点A，B，O为坐标原点，∠AOB＝α(0≤απ)．求角α的大小．解∵z1＝cosθ＋isinθ，z2＝z1i＋1＝1－sinθ＋icosθ，∴kOA＝sinθcosθ＝tanθ，kOB＝cosθ1－sinθ，∴tanα＝kOB－kOA1＋kOB·kOA＝cosθ1－sinθ－tanθ1＋cosθ1－sinθ·tanθ＝1－sinθcosθ答案＝1－cosπ2－θsinπ2－θ＝tanπ4－θ2，①当0≤θ＜π2时，0π4－θ2≤π4，∴α＝π4－θ2.②当π2θπ时，－π4π4－θ20，∵0≤α＜π，∴α＝π4－θ2＋π＝5π4－θ2.答案课时综合练一、选择题1．把复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转2π3所得到的向量对应的复数是()A．1－32＋1＋32iB．－1＋32＋－1－32iC．－1＋32＋1－32iD．1－32＋－1＋32i答案B答案解析复数1＋i对应的向量按顺时针方向旋转2π3所得到的向量为(1＋i)cos－2π3＋isin－2π3＝(1＋i)·－12－32i＝－1＋32＋－1－32i，故选B．解析2．计算3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝()A．3iB．3i＋2C．6iD．6i＋3解析3(cos15°＋isin15°)·2(cos75°＋isin75°)＝6(cos90°＋isin90°)＝6i.解析答案C答案3．设模为2，辐角为π6的复数z是z3＋a＝0的根，那么a是()A．2iB．－2iC．8iD．－8i解析由题意，得z＝2cosπ6＋isinπ6，则有a＝－z3＝－23cosπ2＋isinπ2＝－8i.解析答案D答案4．计算4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝()A．3＋iB．－3＋iC．2＋iD．－2＋i解析4(cos160°＋isin160°)÷[2(cos10°＋isin10°)]＝2(cos150°＋isin150°)＝2－32＋12i＝－3＋i.解析答案B答案5．化简：cos2θ＋isin2θcos3θ＋isin3θcos5θ－isin5θ＝()A．cos10θ＋isin10θB．sin10θ＋icos10θC．sin3θ＋icos3θD．cos3θ＋isin3θ答案A答案解析cos2θ＋isin2θcos3θ＋isin3θcos5θ－isin5θ＝cos2θ＋3θ＋isin2θ＋3θcos5θ－isin5θ＝cos5θ＋isin5θcos5θ－isin5θ＝cos5θ＋isin5θ2cos5θ－isin5θcos5θ＋isin5θ＝cos25θ＋i2sin25θ＋2icos5θsin5θcos25θ－i2sin25θ＝cos10θ＋isin10θ.解析二、填空题6．已知z1＝12(1－3i)，z2＝sinπ3－icosπ3，则z1z2＝________，z1z2＝________.答案－i32－12i答案解析因为z1＝cos－π3＋isin－π3，z2＝cos－π6＋isin－π6，所以z1z2＝cos－π3－π6＋isin－π3－π6＝－i，z1z2＝cos－π3＋π6＋isin－π3＋π6＝32－12i.解析7．将复数1＋3i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数是－2i，则θ角的最小正值是________．答案7π6答案解析∵z＝1＋3i＝2cosπ3＋isinπ3，∴将复数1＋3i所对应的向量绕原点按逆时针方向旋转θ角，所得向量对应的复数为z1＝2cosπ3＋isinπ3(cosθ＋isinθ)＝2cosθ＋π3＋isinθ＋π3＝－2i，∴θ＋π3＝3π2，∴θ＝7π6.解析8．观察下列各式：①cosπ3＋isinπ3＝12＋32i；②cosπ3＋isinπ32＝－12＋32i；③cosπ3＋isinπ33＝－1；④cosπ3＋isinπ34＝－12－32i；…根据以上规律可得cosπ3＋isinπ326＝________.答案－12＋32i答案解析解法一：根据规律，可猜cosπ3＋isinπ3n＝cosnπ3＋isinnπ3，将n＝26代入，可得cosπ3＋isinπ326＝cos26π3＋isin26π3＝－12＋32i.解法二：cosπ3＋isinπ326＝cosπ3＋isinπ338·cosπ3＋isinπ32＝－12＋32i.解析三、解答题9．z1＝5(cos20°＋isin20°)，z2＝10(cos50°＋isin50°)，z3＝2(cos80°＋isin80°)，计算：(1)z1·z2·z3；(2)z31；(3)z2z1；(4)z1z3z2.解(1)z1·z2·z3＝10(cos20°＋isin20°)(cos50°＋isin50°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos70°＋isin70°)(cos80°＋isin80°)＝10(cos150°＋isin150°)＝－53＋5i.(2)z31＝55(cos20°＋isin20°)3＝55(cos60°＋isin60°)＝552＋5152i.(3)z2z1＝10cos50°＋isin50°5cos20°＋isin20°＝2(cos30°＋isin30°)＝6＋2i2.(4)z1z3z2＝10cos20°＋isin20°cos80°＋isin80°10cos50°＋isin50°＝cos50°＋isin50°.答案10．已知复数z＝12＋32i，ω＝22＋22i.求复数zω＋zω3的模及辐角主值．解解法一：将已知复数化为复数的三角形式为z＝12＋32i＝cosπ3＋isinπ3，ω＝22＋22i＝cosπ4＋isinπ4，依题意有zω＋zω3＝cos7π12＋isin7π12＋cos13π12＋isin13π12＝cos7π12＋cos13π12＋isin7π12＋sin13π12＝2cos5π6＋isin5π6，故复数zω＋zω3的模为2，辐角主值为5π6.答案解法二：zω＋zω3＝zω(1＋ω2)＝12＋32i22＋22i(1＋i)＝2－32＋12i＝2cos5π6＋isin5π6，故复数zω＋zω3的模为2，辐角主值为5π6.答案本课结束