2019-2020学年新教材高中数学 第7章 复数 7.2 复数的四则运算 课时作业18 复数的加、

课时作业18复数的加、减运算及其几何意义知识对点练知识点一复数的加减运算1.已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．在复平面内，z1－z2对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B答案解析∵z1＝1＋3i，z2＝3＋i，∴z1－z2＝－2＋2i，故z1－z2在复平面内对应的点(－2,2)在第二象限．解析2．设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有()A．a＝1B．a＝12C．a＝0D．a＝－1解析∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0,2a－1≠0，∴a＝－1.解析答案D答案知识点二复数加减运算的几何意义3.在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为()A．5B.13C.15D.17答案B答案解析BA→对应的复数为－1＋i，BC→对应的复数为3＋2i，∵BD→＝BA→＋BC→，∴BD→对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD的长为13.解析4．已知复数z1对应的向量的终点在第二象限，复数z2对应的向量的终点在第二象限，那么复数z1＋z2对应的向量的终点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B答案解析根据题意结合向量加法运算的平行四边形法则知复数z1＋z2对应的向量的终点一定在复数z1，z2对应的向量所在的直线之间，即其终点也是在第二象限．故选B.解析5．满足条件|z－2i|＋|z＋1|＝5的点的集合是()A．正方形B．直线C．线段D．圆答案C答案解析|z－2i|＋|z＋1|＝5表示动点Z到两定点(0,2)与(－1,0)的距离之和为常数5，又点(0,2)与(－1，0)之间的距离为5，所以动点的集合为以两定点(0,2)与(－1,0)为端点的线段．故选C.解析6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝22，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为________．解析由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝22.解析答案22答案知识点三复数加减运算几何意义的应用7.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案A答案解析由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．解析8．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析|AB|＝|2i－1|＝5，|AC|＝|4＋2i|＝20，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A.解析答案A答案9．若复数z满足|z|＝2，则|1＋3i＋z|的取值范围是()A．[1,3]B．[1,4]C．[0,3]D．[0,4]解析复数z对应的点Z(a，b)的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，|1＋3i＋z|表示点Z(a，b)到点M(－1，－3)的距离．因为(－1，－3)在|z|＝2这个圆上，所以距离最小是0，最大是4.故所求取值范围是[0,4]．解析答案D答案10．设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足|z－i|2－5|z－i|＋60的点Z的集合是什么图形？解∵|z－i|2－5|z－i|＋60，∴(|z－i|－2)(|z－i|－3)0，∴2|z－i|3.不等式|z－i|3的解集是圆|z－i|＝3的内部所有的点组成的集合，不等式|z－i|2的解集是圆|z－i|＝2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2|z－i|3的点Z的集合．所求的集合是以(0,1)为圆心，以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．答案课时综合练一、选择题1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝()A．－8iB．13＋8iC．8＋13iD．13－12i解析原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.故选D.解析答案D答案2．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1－z2＝()A．－1＋2iB．－2－2iC．1＋2iD．1－2i答案B答案解析由题意，知z1＝－2－i，z2＝i，所以z1－z2＝－2－2i.故选B.解析3．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)是()A．1－5iB．－2＋9iC．－2－iD．5＋3i解析∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1－2)i＝5＋3i.解析答案D答案4．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BD|等于()A．5B.13C.15D.17解析依据复数加法、减法的几何意义可得BA→＝(－1,1)，BC→＝(3,2)，所以BD→＝BA→＋BC→＝(2,3)，所以|BD|＝|BD→|＝22＋32＝13.解析答案B答案5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵z＝3－4i，∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－32＋－42＋1－i＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.解析答案C答案二、填空题6．设a为非零实数，则(1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z是________；(2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z是________．答案(1)纯虚数也可能是零(2)实数答案解析(1)满足|z＋a|＝|z－a|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(－a,0)与点(a,0)连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在虚轴上，这样的复数z可能是纯虚数也可能是零．(2)满足|z＋ai|＝|z－ai|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是点(0，－a)与点(0，a)连线段的垂直平分线，即复数z对应的点在实轴上，复数z一定是实数．解析7．已知f(z＋i)＝3z－2i(z∈C)，则f(i)＝________.解析解法一：∵f(z＋i)＝3z－2i＝3z＋3i－5i＝3(z＋i)－5i，则f(x)＝3x－5i，∴f(i)＝3i－5i＝－2i.解法二：令z＝0可得f(i)＝－2i.解析答案－2i答案8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的集合是________．解析设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，得x－32＋y＋42＝x＋32＋y－42，化简可得3x－4y＝0，所以复数z在复平面上对应点的集合是一条直线．解析答案直线答案三、解答题9．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．解设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝x－22＋y－22表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.答案10．在平行四边形ABCD中，已知AC→，DC→对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.(1)求BC→对应的复数；(2)求BD→对应的复数；(3)求平行四边形ABCD的面积．解(1)由于AC→＝AB→＋BC→＝DC→＋BC→，所以BC→＝AC→－DC→.故BC→对应的复数为z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)由于BD→＝AD→－AB→＝BC→－DC→，所以BD→对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.答案(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，AB→＝DC→＝(－1,2)，AD→＝BC→＝(4,3)，所以cos∠DAB＝AB→·AD→|AB→||AD→|＝25×5＝2525.因此sin∠DAB＝1－cos2∠DAB＝11525.于是平行四边形ABCD的面积S＝|AB→||AD→|sin∠DAB＝5×5×11525＝11.答案本课结束