2019-2020学年新教材高中数学 第7章 复数 7.1 复数的概念 课时作业16 数系的扩充和复

课时作业16数系的扩充和复数的概念知识对点练知识点一复数的概念1.下列命题中正确的是()A．0是实数不是复数B．实数集与复数集的交集是实数集C．复数集与虚数集的交集是空集D．若实数a与ai对应，则实数集中的元素与纯虚数集中的元素一一对应答案B答案解析A中，0是实数也是复数，A不正确；B中，实数集与复数集的交集是实数集，B正确；C中，复数集与虚数集的交集是虚数集，C不正确；D中，当a＝0时，ai＝0，所以实数0在纯虚数集中没有对应元素，D不正确．故选B.解析2．(1＋3)i的实部与虚部分别是()A．1，3B．1＋3，0C．0,1＋3D．0，(1＋3)i解析(1＋3)i的实部为0，虚部为1＋3.解析答案C答案知识点二复数的分类3.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1答案A答案解析由复数z为纯虚数，可知x2－1＝0，x－1≠0，解得x＝－1.解析4．设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B答案解析因为a，b∈R，则“a＝0”时，“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以设a，b∈R，则“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件.解析知识点三复数相等5.已知复数z1＝(a＋2b)＋(a－b)i，z2＝－4b＋(2a＋1)i(a，b∈R)，当z1＝z2时，a＋b＝________.解析依题意，得a＋2b＝－4b，a－b＝2a＋1，解得a＝－65，b＝15，所以a＋b＝－65＋15＝－1.解析答案－1答案6．求满足下列条件的实数x，y的值：(1)xi－i2＝y＋2i；(2)(x2＋y2)＋2xyi＝6－6i；(3)(2x－1)－(3－y)i＝0.解(1)由i2＝－1可得xi＋1＝y＋2i，根据复数相等的充要条件可得x＝2，y＝1.答案(2)根据复数相等的充要条件可得x2＋y2＝6，2xy＝－6，解得x＝3，y＝－3或x＝－3，y＝3.(3)由于0＝0＋0i，则根据复数相等的充要条件可得2x－1＝0，－3－y＝0，解得x＝12，y＝3.答案7．若不等式m2－(m2－3m)i(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．解由题意，得m2－3m＝0，m2－4m＋3＝0，m210，∴m＝0或m＝3，m＝3或m＝1，|m|10.∴当m＝3时，原不等式成立．答案课时综合练一、选择题1．已知a，b∈R，则“a＝b”是“(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C答案解析若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数；若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则a－b＝0，a＋b≠0.解析2．设全集I＝{复数}，R＝{实数}，M＝{纯虚数}，则()A．M∪R＝IB．(∁IM)∪R＝IC．(∁IM)∩R＝RD．M∩(∁IR)＝∅答案C答案解析根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I，R，M三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M∪RI，(∁IM)∪R＝∁IM，M∩(∁IR)≠∅，故A，B，D均错误，只有C正确．解析3．以复数52－ix2＋2x(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点()A．在圆x2＋y2＝2上B．在圆x2＋y2＝2外C．在圆x2＋y2＝2内D．与圆x2＋y2＝2的位置关系不确定答案B答案解析因为以复数52－ix2＋2x(x2＋2x＞0)的实部和虚部分别为横、纵坐标的点为52，－x2＋2x.又254＋x2＋2x＝(x＋1)2＋214＞2，所以该点在圆x2＋y2＝2外，选B.解析4．若sin2θ－1＋i(2cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为()A．2kπ－π4(k∈Z)B．2kπ＋π4(k∈Z)C．2kπ±π4(k∈Z)D.kπ2＋π4(k∈Z)答案B答案解析由sin2θ－1＝0，2cosθ＋1≠0，得2θ＝2kπ＋π2，θ≠2kπ＋π±π4(k∈Z)．∴θ＝2kπ＋π4(k∈Z)．解析5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z2，则a的值为()A．0B．－1C．－32D.16答案A答案解析由z1＞z2，得2a2＋3a＝0，a2＋a＝0，－4a＋1＞2a，即a＝0或a＝－32，a＝0或a＝－1，解得a＝0.a＜16，解析二、填空题6．给出下列复数：①－2i，②3＋2，③8i2，④isinπ，⑤4＋i.其中表示实数的有________(填序号)．解析②显然为实数；③8i2＝－8为实数；④isinπ＝0为实数．解析答案②③④答案7．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.解析把原式整理得，(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，∵m∈R，∴m2＋7m＋10＝0，m2－5m－14＝0，解得m＝－2.解析答案－2答案8．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为________．答案－916，7答案解析由z1＝z2，得m＝2cosθ，4－m2＝λ＋3sinθ，消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4sinθ－382－916.由于－1≤sinθ≤1，故－916≤λ≤7.解析三、解答题9．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，求实数m，n的值．解∵z1＝z2，∴n2－3m－1＝－3，n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝－2或m＝2，n＝2，∴m＝2，n＝±2.答案10．求当实数m为何值时，z＝m2－m－6m＋3＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解复数z的实部为m2－m－6m＋3，虚部为m2＋5m＋6.(1)复数z是实数的充要条件是：m2＋5m＋6＝0，m＋3≠0，即m＝－2或m＝－3，m≠－3，即m＝－2.∴当m＝－2时复数z为实数．答案(2)复数z是虚数的充要条件是：m2＋5m＋6≠0，m＋3≠0，即m≠－3且m≠－2.∴当m≠－3且m≠－2时复数z为虚数．(3)复数z是纯虚数的充要条件是：m2－m－6m＋3＝0，m2＋5m＋6≠0，m＋3≠0，即m＝－2或m＝3，m≠－2且m≠－3，m≠－3，即m＝3.∴当m＝3时复数z为纯虚数．答案本课结束