2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.4 平面向量的应用 课时作业13

课时作业13余弦定理知识对点练知识点一已知两边及其夹角解三角形1.在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则边c等于()A.3B.2C．3D．4解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋4－2×1×2×cos60°＝1＋4－2×1×2×12＝3，∴c＝3.解析答案A答案2．在△ABC中，若a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，则b＝________.解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)×cos60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b＝46.解析答案46答案知识点二已知两边及一边对角解三角形3.在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或8解析由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，∴49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0.∵b＞0，∴b＝8.故选B.解析答案B答案4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，c＝23，cosA＝32，且b＜c，则b＝()A.3B．2C．22D．3解析由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4.∵b＜c，∴b＝2.故选B.解析答案B答案知识点三已知三边解三角形5.在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于()A．30°B.45°C．60°D.120°解析由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝9＋4－712＝12，∵0B180°，∴B＝60°.解析答案C答案6．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，则AD的长是________．解析∵cosC＝BC2＋AC2－AB22×BC×AC＝22，0Cπ，∴sinC＝22.∴AD＝ACsinC＝3.解析答案3答案知识点四余弦定理的推论7.在不等边三角形中，a是最大的边，若a2＜b2＋c2，则角A的取值范围是()A.π2，πB.π4，π2C.π3，π2D.0，π2答案C答案解析∵a是最大的边，∴A＞π3.∵a2＜b2＋c2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＞0.∴A＜π2，故π3＜A＜π2.故选C.解析8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cosC＝1314，则最大角的余弦值是()A．－15B．－16C．－17D．－18答案C答案解析由余弦定理，得cosC＝72＋82－c22×7×8＝1314，得c＝3.所以角B为最大角，则cosB＝72＋32－822×7×3＝－17.故选C.解析9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案D答案解析依题意，得a2＋c2－b22ac·tanB＝32，所以由余弦定理，得cosBtanB＝32，∴sinB＝32，∵0Bπ，∴B＝π3或B＝2π3.故选D.解析知识点五余弦定理的应用10.在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.32答案D答案解析∵AB→·AC→＝|AB→||AC→|cos〈AB→，AC→〉，由向量模的定义和余弦定理可得出|AB→|＝3，|AC→|＝2，cos〈AB→，AC→〉＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝14.故AB→·AC→＝3×2×14＝32.解析11．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则此三角形一定是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形答案B答案解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－ac，又∵b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c.∵B＝60°，∴A＝C＝60°.故△ABC是等边三角形.解析易错点忽视三角形中边的隐含关系12.在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求最大边c的取值范围．易错分析易忽略两边之和大于第三边即c＜3，错解为c∈(5，＋∞)．正解∵在钝角三角形ABC中，c为最大边，∴cosC＜0，即a2＋b2－c2＜0.∴c2＞a2＋b2＝5，∴c＞5.又c＜b＋a＝3，∴5＜c＜3，即c的取值范围是(5，3)．答案课时综合练一、选择题1．在△ABC中，若AB＝3－1，BC＝3＋1，AC＝6，则B的大小为()A．30°B.45°C．60°D.120°答案C答案解析∵cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝3－12＋3＋12－622×3－1×3＋1＝12，0B180°，∴B＝60°.解析2．若1＋cosA＝b＋cc，则三角形的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案A答案解析由1＋cosA＝b＋cc，得cosA＝bc，根据余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc，则c2＝a2＋b2.所以三角形为直角三角形．故选A.解析3．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5答案D答案解析∵23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝0，∴cos2A＝125，∴cosA＝±15.∵△ABC为锐角三角形，∴cosA＝15，又∵a＝7，c＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋36－125b.∴b＝5或b＝－135(舍去)．∴b＝5.故选D.解析4．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝()A.1010B.31010C.55D.255答案B答案解析如图所示，在△ACD中，设CD＝a，由CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos∠DAC，得a2＝(2a)2＋(5a)2－22a·5a·cos∠DAC，解得cos∠DAC＝31010.故选B.解析5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则()A．abB．abC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定答案A答案解析由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcosC，则2a2＝a2＋b2＋ab，即a2＝b2＋ab，则ba2＋ba－1＝0，所以ba＝5－121，所以ab，故选A.解析二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bccosA＋accosB＋abcosC的值是________．答案612答案解析∵cosA＝b2＋c2－a22bc，∴bccosA＝12(b2＋c2－a2)．同理，accosB＝12(a2＋c2－b2)，abcosC＝12(a2＋b2－c2)．∴bccosA＋accosB＋abcosC＝12(a2＋b2＋c2)＝612.解析7．在△ABC中，设三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝3，A＝30°，则c＝________.答案1或2答案解析已知a＝1，b＝3，A＝30°，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得1＝3＋c2－3c，即c2－3c＋2＝0，因式分解，得(c－1)(c－2)＝0，解得c＝1或c＝2，经检验都符合题意，所以c的值为1或2.解析8．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________.答案19答案解析由题意，得a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，∴c＝19.解析三、解答题9．已知在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2＋c2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝23，b＝2，求边c的值．解(1)由已知可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－bc2bc＝－12，∵0Aπ，∴A＝120°.(2)∵a2＝b2＋c2－2bccosA，将a＝23，b＝2，cosA＝－12代入可得12＝4＋c2－4c·－12，即c2＋2c－8＝0，∴c＝－4(舍去)或c＝2，∴边c的值为2.答案10．已知向量m＝(cosωx，sinωx)，n＝(cosωx,23cosωx－sinωx)，ω0，函数f(x)＝m·n＋|m|，且函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f(A)＝2，c＝2，S△ABC＝32，求a的值．解(1)f(x)＝m·n＋|m|＝cos2ωx＋23sinωxcosωx－sin2ωx＋1＝cos2ωx＋3sin2ωx＋1＝2sin2ωx＋π6＋1.由题意，知T＝π，又∵T＝2π2ω＝π，∴ω＝1.答案(2)∵f(x)＝2sin2x＋π6＋1，∴f(A)＝2sin2A＋π6＋1＝2，sin2A＋π6＝12.∵0Aπ，∴π62A＋π62π＋π6，∴2A＋π6＝5π6，∴A＝π3.答案∴S△ABC＝12bcsinA＝32，∴b＝1.∴由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋4－2×1×2×12＝3.∴a＝3.答案本课结束