2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示

课时作业10平面向量数量积的坐标表示知识对点练知识点一平面向量数量积的坐标表示1.设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．12B．0C．－3D．－11答案C答案解析∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.解析2．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为()A．－92B．0C．3D.152解析∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.解析答案C答案知识点二平面向量的模与夹角3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()A.3B．23C．4D．12答案B答案解析由a＝(2,0)，得|a|＝2，又|b|＝1，所以a·b＝2×1×cos60°＝1，故|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝23.解析4．已知a，b为平面向量，且a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665答案C答案解析∵a＝(4,3)，∴2a＝(8,6)．又2a＋b＝(3,18)，∴b＝(－5,12)，∴a·b＝－20＋36＝16.又|a|＝5，|b|＝13，∴cos〈a，b〉＝165×13＝1665.解析5．已知|a|＝1，|b|＝3，a＋b＝(3，1)，则|a－b|＝________.解析|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－2a·b.又因为a＋b＝(3，1)，所以(a＋b)2＝4，即a2＋2a·b＋b2＝4，所以a·b＝0，故|a－b|＝4＝2.解析答案2答案6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝25，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝52，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝25，∴x2＋y2＝25，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝25，答案可得1·y－2·x＝0，x2＋y2＝20，解得x＝2，y＝4，或x＝－2，y＝－4.故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×54＝0，整理得a·b＝－52，∴cosθ＝a·b|a||b|＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.答案知识点三数量积的应用7.已知向量OA→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x轴上有一点P，使AP→·BP→有最小值，则点P的坐标是()A．(－3,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(4,0)答案C答案解析设点P(x,0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)，∴AP→·BP→＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，AP→·BP→最小，此时点P的坐标为(3,0)．解析8．已知在平行四边形ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3，2)，则AD→·AC→＝________.答案3答案解析设AC，BD相交于点O，则AD→＝AO→＋OD→＝12AC→＋12BD→＝12，1＋－32，1＝(－1,2)．又AC→＝(1,2)，所以AD→·AC→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.解析9．如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若OA→⊥OB→，则向量OB→的坐标为________．答案－22，22答案解析依题意设B(cosθ，sinθ)，0≤θ≤π，则OB→＝(cosθ，sinθ)，OA→＝(1,1)．因为OA→⊥OB→，所以OA→·OB→＝0，即cosθ＋sinθ＝0，解得θ＝3π4.所以OB→＝－22，22.解析10．若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→·MB→＝________.答案－2答案解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－3，0)，M(0,2)，∴MA→＝(0,1)，MB→＝(－3，－2)，∴MA→·MB→＝－2.解析11．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的模的最大值；(2)设α＝π4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解(1)b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．因为－1≤cosβ≤1，所以0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|＝2，所以向量b＋c的模的最大值为2.答案(2)若α＝π4，则a＝22，22.又由b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)得a·(b＋c)＝22，22·(cosβ－1，sinβ)＝22cosβ＋22sinβ－22.因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1，答案所以sinβ＝1－cosβ，平方后化简得cosβ(cosβ－1)＝0，解得cosβ＝0或cosβ＝1.经检验cosβ＝0或cosβ＝1即为所求.答案易错点对向量的数量积与夹角的关系理解不透致误12．设a＝(－3，m)，b＝(4,3)，若a与b的夹角是钝角，则实数m的范围是()A．m4B．m4C．m4且m≠94D．m4且m≠－94易错分析本题错误的根本原因是误认为两个向量的夹角为钝角与数量积小于零等价，应排除夹角为π时的m值，条件的转化一定要等价．答案D答案正解a＝(－3，m)，b＝(4,3)，当a与b的夹角是钝角时，a·b0，①且a与b不平行，②由①得，－3×4＋3m0，解得m4，由②得，－3×3－4m≠0，解得m≠－94，综上，实数m的范围是m4且m≠－94.答案课时综合练一、选择题1．已知向量a＝(4，－3)，b＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影向量的坐标为()A.45，－35B.－45，35C.625，－825D.－825，625答案D答案解析设与向量a同方向的单位向量为e，向量b在a方向上的投影向量为c.∵|a|＝5，∴e＝45，－35，∴c＝a·b|a|e＝－25e＝－825，625.故选D.解析2．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(1，cosθ)，且a⊥b，其中θ∈π2，π，则sinθ－cosθ等于()A．－55B.55C.255D.355答案D答案解析依题意，知a·b＝0，即sinθ＋2cosθ＝0.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，且θ∈π2，π，∴cosθ＝－55，∴sinθ＝255，∴sinθ－cosθ＝355.解析3．如图，在等腰直角三角形AOB中，设OA→＝a，OB→＝b，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任意一点，OP→＝p，则p·(b－a)＝()A．－12B.12C．－32D.32答案A答案解析解法一：因为在等腰直角三角形AOB中，OA→＝a，OB→＝b，OA＝OB＝1，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0.由题意，可设OP→＝－14(b－a)＋λ·12(b＋a)，λ∈R，所以p·(b－a)＝－14(b－a)·(b－a)＋λ2(b＋a)·(b－a)＝－14(b－a)2＋λ2(|b|2－|a|2)解析＝－14(|a|2＋|b|2－2a·b)＝－14(1＋1－0)＝－12.解法二：以C点为坐标原点，CB→所在直线为x轴，垂线l为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．解析根据题意可知，C(0,0)，A－24，0，B324，0，O24，22，设P(0，y)，则p＝OP→＝－24，y－22，a＝OA→＝－22，－22，b＝OB→＝22，－22，b－a＝(2，0)．故p·(b－a)＝－24×2＝－12.解析4．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈－π2，π2，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，2)B．[1，2]C．[1,2]D．[2，2]答案D答案解析|a＋b|＝1＋cosθ2＋sin2θ＝2＋2cosθ.∵θ∈－π2，π2，∴cosθ∈[0,1]，∴|a＋b|∈[2，2]．解析5．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈π2，π，则向量a，b的夹角为()A.3π2－θB．θ－π2C．θ＋π2D．θ答案A答案解析解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上∵π2θπ，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为3π2－θ.解析解法二：cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－4sinθ2×2＝－sinθ＝cos3π2－θ，∵θ∈π2，π，∴3π2－θ∈π2，π.又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝3π2－θ.解析二、填空题6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.答案2答案解析c＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝5，|b|＝25，设c，a的夹角为α，c，b的夹角为θ，又因为cosα＝c·a|c||a|，cosθ＝c·b|c||b|，由题意知c·a|a|＝c·b|b|，即5m＋85＝8m＋2025，解得m＝2.答案7．已知向量OA→＝(1,7)，OB→＝(5,1)(O为坐标原点)，设M是直线y＝12x上的一点，那么MA→·MB→的最小值是________．答案－8答案解析设Mx，12x，则MA→＝1－x，7－12x，MB→＝5－x，1－12x，MA→·MB→＝(1－x)(5－x)＋7－12x1－12x＝54(x－4)2－8.当x＝4时，MA→·MB→取得最小值－8.解析8．在直角三角形ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，则k的值为________．答案－23或113或3±132答案解析①当∠A＝90°时，AB→⊥AC→，∴AB→·AC→＝2×1＋3k＝0，解得k＝－23.②当∠B＝90°时，AB→⊥BC→，∵BC→＝AC→－AB→＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)，∴AB→·BC→＝2×(－1)＋3×(k－3)＝0，解得k＝113.③当∠C＝90°时，AC→⊥BC→，∴1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0，解得k＝3±132.解析三、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．证明假设m，n的夹角能为60°，则cos60°＝m·n|m||n|.∴m·n＝12|m||n|.①又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，答案∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②|m||n|＝k2a2＋2ka·b＋b2·a2＋2ka·b＋k2b2＝k2＋1.③由①②③，得2k＝12(k2＋1)．∴k2－4k＋1＝0.∵该方程无整数解．∴m，n的夹角不能为60°.答案10．已知函数f(x)＝m|x－1|(m∈R且m≠0)，设向量a＝(1,2cos2θ－1)，b＝(2,1)，c＝(4sinθ，1)，d＝12sinθ，1，当θ∈0，π4时，比较f(a·b)与f(c·d)的大小．解a·b＝1＋2cos2θ，