2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示

课时作业7平面向量基本定理知识对点练知识点一基底的概念1.下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③答案B答案解析只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.解析2．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．解析考虑向量a，b共线，则有λ＝12，故当λ≠12时，向量a，b不共线，可作为一组基底.解析答案λ≠12答案知识点二用基底表示向量3.已知平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AP→＝yAD→，AQ→＝xAB→，其中x，y∈R，且均不为0.若PQ→∥BE→，则xy＝________.答案12答案解析因为PQ→＝AQ→－AP→＝xAB→－yAD→，由PQ→∥BE→，可设PQ→＝λBE→，即xAB→－yAD→＝λ(CE→－CB→)＝λ－12AB→＋AD→＝－λ2AB→＋λAD→，所以x＝－12λ，y＝－λ，则xy＝12.解析4．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.解因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb.则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.又因为e1，e2不共线，答案所以3x－2y＝7，－2x＋y＝－4，解得x＝1，y＝－2，所以c＝a－2b.答案5．在▱ABCD中，设AC→＝a，BD→＝b，试用a，b表示AB→，BC→.解解法一：(转化法)如图，设AC，BD交于点O，则有AO→＝OC→＝12AC→＝12a，BO→＝OD→＝12BD→＝12b.∴AB→＝AO→＋OB→＝AO→－BO→＝12a－12b，BC→＝BO→＋OC→＝12b＋12a.答案解法二：(方程思想)设AB→＝x，BC→＝y，则有AB→＋BC→＝AC→，AD→－AB→＝BD→且AD→＝BC→＝y，即x＋y＝a，y－x＝b，∴x＝12a－12b，y＝12a＋12b，即AB→＝12a－12b，BC→＝12a＋12b.答案6．如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示AG→.解易知CF→＝12CD→，CE→＝12CB→，设CG→＝λCA→，则由平行四边形法则，得CG→＝λ(CB→＋CD→)＝2λCE→＋2λCF→.由于E，G，F三点共线，则2λ＋2λ＝1，故λ＝14.从而CG→＝14CA→，AG→＝34AC→＝34(a＋b).答案知识点三平面向量基本定理的应用7.设e1，e2是平面内的一组基底，如果AB→＝3e1－2e2，BC→＝4e1＋e2，CD→＝8e1－9e2，求证：A，B，D三点共线．证明∵AB→＝3e1－2e2，AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝15e1－10e2＝5(3e1－2e2)＝5AB→，即AD→＝5AB→，∴AD→与AB→共线，又AD→与AB→有公共点A，∴A，B，D三点共线．答案8．用向量法证明三角形的三条中线交于一点．证明如图，设D，E，F分别是△ABC的三边BC，AC，AB的中点，答案令AC→＝a，BC→＝b为基底，则AB→＝a－b，AD→＝a－12b，BE→＝－12a＋b，设AD与BE交于点G，且AG→＝λAD→，BG→＝μBE→，则有AG→＝λa－λ2b，BG→＝－μ2a＋μb.答案又有AG→＝AB→＋BG→＝1－μ2a＋(μ－1)b，∴λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23.∴AG→＝23a－13b，CG→＝CA→＋AG→＝－a＋23a－13b＝－13a－13b＝23×12(－a－b)．答案而CF→＝12(－a－b)，∴CG→＝23CF→.∴点G∈CF.∴三角形三条中线交于一点．答案课时综合练一、选择题1．在△ABC中，点D在BC边上，且BD→＝2DC→，设AB→＝a，AC→＝b，则AD→可用基底a，b表示为()A.12(a＋b)B.23a＋13bC.13a＋23bD.13(a＋b)答案C答案解析因为BD→＝2DC→，所以BD→＝23BC→.所以AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝13AB→＋23AC→＝13a＋23b.解析2．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是()A．a＋b与a－bB．a＋2b与2a＋bC．a＋b与－a－bD．a与－b答案C答案解析由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．解析3．若OP1→＝a，OP2→＝b，P1P→＝λPP2→(λ≠－1)，则OP→等于()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.11＋λa＋λ1＋λb答案D答案解析∵P1P→＝λPP2→，∴OP→－OP1→＝λ(OP2→－OP→)，∴(1＋λ)OP→＝OP1→＋λOP2→，∴OP→＝11＋λOP1→＋λ1＋λ·OP2→＝11＋λa＋λ1＋λb.故选D.解析4．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角为()A.π6B.5π6C.π3D.2π3答案D答案解析如图所示，在四边形ABCD中，AD→＝a，AB→＝b，AC→＝c，∵c＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，∵c⊥a，∴△ACD为直角三角形，又|AD→|＝1，|DC→|＝2，∴θ＝π6，所以a与b的夹角为2π3.解析5．如图，在四边形ABCD中，DC→＝13AB→，E为BC的中点，且AE→＝xAB→＋yAD→，则3x－2y＝()A.12B.32C．1D．2答案C答案解析由题意，得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12(－AB→＋AD→＋DC→)＝AB→＋12－AB→＋AD→＋13AB→＝23AB→＋12AD→.∵AE→＝xAB→＋yAD→，∴xAB→＋yAD→＝23AB→＋12AD→.∵AB→与AD→不共线，∴由平面向量基本定理，得x＝23，y＝12.∴3x－2y＝3×23－2×12＝1.故选C.解析二、填空题6．如图，在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，M是DC的中点，以a，b为基底表示向量AM→，则AM→＝________.解析AM→＝AD→＋DM→＝AD→＋12DC→＝AD→＋12AB→＝b＋12a.解析答案b＋12a答案7．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．解析∵AO→＝12(AB→＋AC→)，∴O为BC的中点．则BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.故AB→与AC→的夹角为90°.解析答案90°答案8．如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．答案311答案解析设BP→＝kBN→，则AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋kBN→＝AB→＋k(AN→－AB→)＝AB→＋k14AC→－AB→＝(1－k)AB→＋k4AC→，又AP→＝mAB→＋211AC→，所以1－k＝m，k4＝211，解得k＝811，m＝311.解析三、解答题9．如图所示，已知△AOB中，点C是点B关于点A的对称点，OD→＝2DB→，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意，知A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，知OB→＋OC→＝2OA→.∴OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.答案(2)∵EC→∥DC→，又EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b，∴2－λ2＝153，∴λ＝45.答案10．如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M.设OA→＝a，OB→＝b.(1)试用向量a，b表示OM→；(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M，设OE→＝λOA→，OF→＝μOB→，求证：1λ＋3μ＝7.解(1)不妨设OM→＝ma＋nb，一方面，由于A，D，M三点共线，则存在α(α≠－1)使得AM→＝αMD→，于是OM→＝OA→＋αOD→1＋α，又OD→＝12OB→，所以OM→＝OA→＋α2OB→1＋α＝11＋αa＋α21＋αb，则m＝11＋α，n＝α21＋α，即m＋2n＝1；①另一方面，由于B，C，M三点共线，则存在β(β≠－1)使得CM→＝βMB→，于是OM→＝OC→＋βOB→1＋β，答案又OC→＝14OA→，所以OM→＝14OA→＋βOB→1＋β＝141＋βa＋β1＋βb，则m＝141＋β，n＝β1＋β，即4m＋n＝1.②由①②可得m＝17，n＝37，所以OM→＝17a＋37b.答案(2)证明：由于E，M，F三点共线，所以存在实数η(η≠－1)使得EM→＝ηMF→，于是OM→＝OE→＋ηOF→1＋η，又OE→＝λOA→，OF→＝μOB→，所以OM→＝λOA→＋ημOB→1＋η＝λ1＋ηa＋μη1＋ηb，于是17a＋37b＝λ1＋ηa＋μη1＋ηb，从而λ1＋η＝17，μη1＋η＝37，消去η即得1λ＋3μ＝7.答案本课结束