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课时作业2向量的加法运算知识对点练知识点一向量的加法及几何意义1.下列命题中，真命题的个数为()①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；②在△ABC中，必有AB→＋BC→＋CA→＝0；③若AB→＋BC→＋CA→＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.A．0B．1C．2D．3答案B答案解析①错误，若a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的；②正确；③错误，当A，B，C三点共线时，也满足AB→＋BC→＋CA→＝0；④错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.解析2．下列三个命题：①若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c；②AB→＝CD→的等价条件是点A与点C重合，点B与点D重合；③若a＋b＝0且b＝0，则－a＝0.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．0答案B答案解析∵a＋b＝0，∴a，b的长度相等且方向相反．又b＋c＝0，∴b，c的长度相等且方向相反，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c，①正确；当AB→＝CD→时，应有|AB→|＝|CD→|及由A到B与由C到D的方向相同，但不一定要有点A与点C重合，点B与点D重合，故②错误；③显然正确．解析3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是()A．向量a与b反向，且|a||b|，则向量a＋b与a的方向相同B．向量a与b反向，且|a||b|，则向量a＋b与a的方向相同C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同答案B答案解析向量a与b反向，且|a||b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错误．解析4．设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．解析当a，b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|＝8＋12＝20，当a，b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||＝4.当a，b不共线时，||a|－|b|||a＋b||a|＋|b|，即4|a＋b|20，所以最大值为20，最小值为4.解析答案20,4答案5．如图，已知向量a，b.(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；(2)用三角形法则作出向量a＋b.解(1)如图，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b.(2)如图，在平面内任取一点O′，作O′D→＝a，DE→＝b，连接O′E，则O′E→＝a＋b.答案知识点二向量加法的运算律6.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→；③OA→＋OC→＋BO→＋CO→；④AB→＋CA→＋BD→＋DC→.其中结果为0的个数是()A．1B．2C．3D．4解析由向量加法的运算法则知①④的结果为0，故选B.解析答案B答案知识点三向量加法的应用7.如下图，在正六边形OABCDE中，若OA→＝a，OE→＝b，试用向量a，b将OB→，OC→，OD→表示出来．解由题意，知四边形ABPO，AOEP均为平行四边形．由向量的平行四边形法则，知OP→＝OA→＋OE→＝a＋b.∵AB→＝OP→，∴AB→＝a＋b.在△AOB中，根据向量的三角形法则，知OB→＝OA→＋AB→＝a＋a＋b＝2a＋b，∴OC→＝OB→＋BC→＝2a＋b＋b＝2a＋2b.OD→＝OE→＋ED→＝OE→＋AB→＝b＋a＋b＝a＋2b.答案课时综合练一、选择题1．已知非零向量a，b，c，则(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，与向量a＋b＋c相等的向量的个数为()A．5B．4C．3D．2解析向量加法满足交换律，所以五个向量均等于a＋b＋c.解析答案A答案2．向量(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→化简后等于()A.CB→B.AB→C.AC→D.AM→答案C答案解析(AB→＋MB→)＋(BO→＋BC→)＋OM→＝(AB→＋BC→)＋(BO→＋OM→＋MB→)＝AC→＋0＝AC→.故选C.解析3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP→＋OQ→＝()A.OH→B.OG→C.FO→D.EO→答案C答案解析设a＝OP→＋OQ→，利用平行四边形法则作出向量OP→＋OQ→，再平移即发现a＝FO→.解析4．设|a|＝1，|b|＝1，且p＝a＋b，则|p|的取值范围为()A．[0,1]B．[0,2]C．[1,2]D．[0,3]解析因为a，b是单位向量，因此当两个向量同向时，|p|取最大值2，当两个向量反向时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.解析答案B答案5．在▱ABCD中，若|BC→＋BA→|＝|AB→＋BC→|，则四边形ABCD是()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定解析|AB→＋BC→|＝|AC→|，|BC→＋BA→|＝|BD→|，由|BD→|＝|AC→|知，四边形ABCD为矩形．解析答案B答案二、填空题6．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB→|＝2，则|BC→＋DC→|＝________.答案23答案解析如图所示，设菱形对角线交点为O.BC→＋DC→＝AD→＋DC→＝AC→.∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，|AO→|＝|AB→|2－|OB→|2＝3，∴|AC→|＝2|AO→|＝23.解析7．如图所示，若P为△ABC的外心，且PA→＋PB→＝PC→，则∠ACB＝________.答案120°答案解析因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为PA→＋PB→＝PC→，由向量的加法运算可得，四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.解析8．设a表示“向东走了2km”，b表示“向南走了2km”，c表示“向西走了2km”，d表示“向北走了2km”，则(1)a＋b＋c表示向________走了________km；(2)b＋c＋d表示向________走了________km；(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．答案(1)南2(2)西2(3)22东南答案解析(1)如图①所示，a＋b＋c表示向南走了2km.(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2km.(3)如图①所示，|a＋b|＝22＋22＝22，a＋b的方向是东南．解析三、解答题9．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且|AB→|＝|AD→|＝1，OA→＋OC→＝OB→＋OD→＝0，cos∠DAB＝12.求|DC→＋BC→|与|CD→＋BC→|.解∵OA→＋OC→＝OB→＋OD→＝0，∴OA→＝CO→，OB→＝DO→.∴四边形ABCD是平行四边形．又|AB→|＝|AD→|＝1，知四边形ABCD为菱形．又cos∠DAB＝12，∠DAB∈(0，π)，答案∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．∴|DC→＋BC→|＝|AB→＋AD→|＝|AC→|＝2|AO→|＝3，|CD→＋BC→|＝|BD→|＝|AB→|＝1.答案10．已知在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF→＋EF→＝AB→＋DC→.证明如图，在平面内取点O，连接AO，EO，DO，CO，FO，BO.答案EF→＝EO→＋OF→＝EA→＋AO→＋OB→＋BF→，AB→＝AO→＋OB→，DC→＝DO→＋OC→＝DE→＋EA→＋AO→＋OB→＋BF→＋FC→.因为E，F分别是AD，BC的中点，所以DE→＝EA→，BF→＝FC→.所以EF→＋EF→＝EA→＋AO→＋OB→＋BF→＋EA→＋AO→＋OB→＋BF→解析＝DE→＋AO→＋OB→＋FC→＋EA→＋AO→＋OB→＋BF→＝(AO→＋OB→)＋(DE→＋FC→＋EA→＋AO→＋OB→＋BF→)＝AB→＋DC→.答案本课结束