2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.3 平面向量线性运算的应用 课时36

课时36向量在物理中的应用知识对点练知识点一向量在力学中的应用1.已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)且A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为()A．(9,1)B．(1,9)C．(9,0)D．(0,9)解析F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．又∵起点坐标为A(1,1)，∴终点坐标为(9,1)．故选A．解析答案A答案2．甲、乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°和60°的角时，甲和乙的手上所承受的力的比是()A．1∶2B．2∶1C．1∶3D．3∶1解析由物理知识得，|F甲|sin30°＝|F乙|sin60°，∴|F甲|∶|F乙|＝3∶1，故选D．解析答案D答案知识点二向量在运动学中的应用3.一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为4km/h，则水流速度的大小为________km/h.答案2答案解析如右图所示，AD→表示船速，AB→表示水速，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则AC→表示船的实际航行速度．在Rt△ABC中，|BC→|＝|AD→|＝23，|AC→|＝4，∴|AB→|＝2.答案4．一航船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解如图，OA→表示水流速度，OB→表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC→表示船实际速度，∠AOC＝30°，|OB→|＝5km/h.答案∵四边形OACB为矩形，|OA→|＝|AC→|tan30°＝|OB→|tan30°＝53≈8.66(km/h)．|OC→|＝|OB→|sin30°＝10(km/h)．∴水流速度为8.66km/h，船实际速度为10km/h.答案5．如图，一条河的两岸互相平行，河的宽度d＝1000m，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度为|v1|＝5km/h，水流速度|v2|＝3km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少分钟？解小船行驶航程最短时，合速度的方向垂直于河岸，小船的实际航行速度|v|＝|v1|2－|v2|2＝4(km/h)，所以航行时间t＝d|v|＝14×60＝15(min)．所以行驶航程最短时，所用的时间是15min.答案知识点三向量在物理中的综合应用6.三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，判断△ABC的形状．解由题意得|a|＝|b|＝|c|，由于在合力作用下物体做匀速运动，故合力为0，即a＋b＋c＝0.所以a＋c＝－b．答案如图，作平行四边形APCD，则其为菱形．因为PD→＝a＋c＝－b，所以∠APC＝120°.同理，∠APB＝∠BPC＝120°.又因为|a|＝|b|＝|c|，所以△ABC为等边三角形.答案易错点在渡河问题中忽略水流速度7.在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？易错分析本题若忽略了水流速度，就会得到如下错解：渡船要垂直地渡过长江，其航向应垂直于岸边．正解如图所示，设AB→表示水流的速度，AD→表示渡船的速度，AC→表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB→＋AB→＝AC→，所以四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|DC→|＝|AB→|＝12.5，|AB→|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.答案课时综合练一、选择题1．用两条成60°的绳索拉船，每条绳的拉力大小是12N，则合力的大小为(精确到0.1N)()A．20.6NB．18.8NC．20.8ND．36.8N答案C答案解析设两条绳索的拉力F1，F2的合力为F合．如图所示，则|AB→|＝|AD→|＝12，F合＝AC→，连接BD交AC于M，∠BAM＝30°，∴|F合|＝2|AM→|＝2×12cos30°＝123≈20.8(N)．故选C．解析2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为()A．53NB．5NC．10ND．52N解析由题意可知，|F1|＝|F|cos60°＝5(N)．解析答案B答案3．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．13m/sB．12m/sC．17m/sD．15m/s答案A答案解析如图所示，v1是河水流速，v为小船实际速度，则v－v1为小船的静水速度．于是|v－v1|＝v2－2v·v1＋v21＝122＋52＝13.解析4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为()A．2B．3C．4D．8解析∵|v|＝12＋22＝5，|AB→|＝7－42＋12－62＝45，∴时间t＝455＝3.解析答案B答案5．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(5,10)B．(－5,10)C．(10,5)D．(10，－5)解析设P(x，y)，则x＝－10＋4×5＝10，y＝10＋－3×5＝－5，∴P(10，－5)．解析答案D答案二、填空题6．某物体做斜抛运动，初速度|v0|＝10m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度是________m/s.答案5答案解析设该物体在竖直方向上的速度为v1，水平方向上的速度为v2，如图所示，由向量求和的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，|v2|＝|v0|cos60°＝10×12＝5(m/s)，所以该物体在水平方向上的速度是5m/s.解析7．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，且F1＋F2＋F3＝0，则F3＝________.解析由题设F1＋F2＋F3＝0，得(3,4)＋(2，－5)＋(x，y)＝(0,0)，即3＋2＋x＝0，4－5＋y＝0，∴x＝－5，y＝1，∴F3＝(－5,1)．解析答案(－5,1)答案8．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．答案①③答案解析设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为θ0θπ2.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝|f|cosθ.∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大．设船的浮力为F浮，则|F浮|＋|F|sinθ＝|mg|，∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小．解析三、解答题9．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．解如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直方向的速度．则v0＋v1表示船实际航行的速度，∵|v0|＝4，|v1|＝8，∴解直角三角形|v0＋v1|＝42＋82＝45.故船实际航行的速度为45千米/时．答案10．如图所示，在细绳O处用水平方向的力F2缓慢拉起重力为G的物体，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)分析|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求θ的取值范围．解(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G＝－(F1＋F2)，|F1|＝|G|cosθ，|F2|＝|G|tanθ.当θ从0°逐渐增大并接近90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)|F1|＝|G|cosθ≤2|G|，∵0°≤θ＜90°，∴cosθ≥12，∴0°≤θ≤60°.答案11．某人在一条河中游泳，河水的流速为3km/h，此人在静水中游泳的速度为4km/h.(1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解(1)如图，设水流速度为OA→，此人游泳的速度为OB→，以OA→，OB→为邻边作矩形OACB，则此人实际的速度为OC→＝OA→＋OB→.答案由|OA→|＝3，|OB→|＝4，及勾股定理，得|OC→|＝5，且在Rt△OAC中，∠AOC≈53°1′.故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°1′的方向前进的，速度大小为5km/h.答案(2)如图，设水流速度为OA→，实际游泳的速度为OC→，实际前进的速度为OB→，则OA→＋OC→＝OB→，∴四边形OABC为平行四边形．答案据题意，OB→⊥OA→，|OA→|＝3，|OC→|＝4，则在Rt△AOB中，|OB→|＝42－32＝7.cos∠BAO＝34，∴∠BAO≈41°41′.故此人应沿与河岸的夹角为41°41′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为7km/h.答案本课结束