2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.2.1 向量基本定理 课时31 平面

课时31平面向量基本定理知识对点练知识点一平面向量基本定理的理解1.如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ，μ使得λe1＝μe2，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析由平面向量基本定理可知，①④正确．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②不正确．对于③，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个，故③不正确．解析答案B答案2．若{e1，e2}是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是()A．{e1－e2，e2－e1}B．{2e1＋e2，e1＋12e2}C．{2e2－3e1,6e1－4e2}D．{e1＋e2，e1－e2}答案D答案解析对于选项A，e1－e2＝－(e2－e1)，所以(e1－e2)∥(e2－e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B,2e1＋e2＝2e1＋12e2，所以(2e1＋e2)∥e1＋12e2，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C,2e2－3e1＝－12(6e1－4e2)，所以(2e2－3e1)∥(6e1－4e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1＋e2与e1－e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底．解析知识点二用基底表示向量3．如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若OP→＝aOP1→＋bOP2→，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0解析取第Ⅲ部分内一点画图易得a＞0，b＜0.解析答案B答案4．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且BP→＝32PC→.(1)用基底{AB→，AC→}表示AP→＝________；(2)用基底{AB→，PC→}表示AP→＝________.答案(1)25AB→＋35AC→(2)AB→＋32PC→答案解析(1)∵AP→＝AB→＋BP→，BP→＝32PC→＝35BC→，BC→＝AC→－AB→，∴AP→＝AB→＋35(AC→－AB→)＝AB→＋35AC→－35AB→＝25AB→＋35AC→.(2)AP→＝AB→＋BP→＝AB→＋32PC→.解析5.在△ABC中，AD→＝14AB→，过点D作DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示．设AB→＝a，AC→＝b，试用基底{a，b}表示DN→.解∵M为BC的中点，∴BM→＝12BC→＝12(AC→－AB→)＝12(b－a)，AM→＝AB→＋BM→＝a＋12(b－a)＝12(a＋b)．∵DN∥BM，AN与AM共线，∴存在实数λ，μ，使得DN→＝λBM→＝12λ(b－a)．AN→＝μAM→＝12μ(a＋b)＝μ2a＋μ2b.答案∵AN→＝AD→＋DN→＝14a＋12λ(b－a)＝14－λ2a＋λ2b，∴根据平面向量基本定理，得14－λ2＝μ2，λ2＝μ2，∴λ＝μ＝14，∴DN→＝18(b－a)＝－18a＋18b.答案知识点三平面向量基本定理的应用6.已知O，A，M，B为平面上四点，且OM→＝λOB→＋(1－λ)·OA→，实数λ∈(1,2)，则()A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，M，B四点一定共线答案B答案解析由题意得OM→－OA→＝λ(OB→－OA→)，即AM→＝λAB→.又λ∈(1,2)，所以点B在线段AM上．故选B.解析7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.解析设AB→＝a，AD→＝b，则AE→＝12a＋b，AF→＝a＋12b.又∵AC→＝a＋b，∴AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23.∴λ＋μ＝43.解析答案43答案8．已知a，b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a，12b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，则实数t＝________.答案13答案解析如图，∵a，12b，t(a＋b)三个向量的终点在一条直线上，∴存在实数λ使t(a＋b)－12b＝λa－12b，即(t－λ)a＝12－12λ－tb.又∵a，b不共线，∴t－λ＝0且12－12λ－t＝0，解得t＝13.解析9．如图，已知三点O，A，B不共线，且OC→＝2OA→，OD→＝3OB→，设OA→＝a，OB→＝b.(1)设AD与BC交于点E，试用a，b表示向量OE→；(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．解(1)∵B，E，C三点共线，∴存在实数x，使OE→＝xOC→＋(1－x)OB→＝2xa＋(1－x)b.①同理，∵A，E，D三点共线，∴存在实数y，使OE→＝ya＋3(1－y)b.②由①②，得2x＝y，1－x＝31－y，答案解得x＝25，y＝45.∴OE→＝45a＋35b.(2)证明：∵OL→＝a＋b2，OM→＝12OE→＝4a＋3b10，ON→＝12(OC→＋OD→)＝2a＋3b2，∴MN→＝ON→－OM→＝6a＋12b10＝3a＋6b5，ML→＝OL→－OM→＝a＋2b10，∴MN→＝6ML→，∴L，M，N三点共线.答案易错点忽略两个向量作为基底的条件10.已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为()A．λ＝0B．e2＝0C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0易错分析若认为e1，e2是一组基底，则会得到如下解析：设a＝kb(k∈R)，则e1＋λe2＝2ke1，所以(1－2k)e1＋λe2＝0，所以1－2k＝0，且λ＝0，选A.事实上，e1，e2并不一定是平面内的一组基底，不要漏掉e1，e2共线的情况．答案D正解当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a与b共线．答案课时综合练一、选择题1．设{e1，e2}是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．{e1＋e2，e1－e2}B．{3e1－2e2,4e2－6e1}C．{e1＋2e2，e2＋2e1}D．{e2，e1＋e2}解析因为B中3e1－2e2和4e2－6e1为平行向量，所以不能作为一组基底．故选B.解析答案B答案2．{e1，e2}为基底向量，已知向量AB→＝e1－ke2，CB→＝2e1－e2，CD→＝3e1－3e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A．2B．－3C．－2D．3答案A答案解析根据题意得AB→＝e1－ke2，BD→＝CD→－CB→＝3e1－3e2－2e1＋e2＝e1－2e2，∵A，B，D三点共线，∴AB→＝λBD→，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，所以1＝λ，－k＝－2λ，∴k＝2.解析3．若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，AB→＝4e1，BC→＝6e2，则3e2－2e1＝()A．AO→B．CO→C．BO→D．DO→答案C答案解析3e2－2e1＝12BC→－12AB→＝12AD→－12AB→＝12BD→＝BO→.解析4．在△ABC中，设M是边BC上任意一点，N为AM的中点，若AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1答案A答案解析解法一：设BM→＝tBC→(0≤t≤1)，则AN→＝12AM→＝12(AB→＋BM→)＝12AB→＋12BM→＝12AB→＋12tBC→＝12AB→＋t2(AC→－AB→)＝12－t2AB→＋t2AC→，所以λ＝12－t2，μ＝t2，故λ＋μ＝12.解法二：(特殖值法)设M为BC的中点，所以AN→＝12AM→＝12×12(AB→＋AC→)＝14AB→＋14AC→，所以λ＝μ＝14，故λ＋μ＝12.解析5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→＝()A.14a＋12bB.12a＋14bC.23a＋13bD.12a＋23b答案C答案解析▱ABCD中，△DEF∽△BEA，故DEBE＝DFBA＝13，再由AB＝CD可得DFDC＝13.故DF→＝13DC→，解析∵AC→＝a，BD→＝b，∴DC→＝OC→－OD→＝12AC→－12BD→＝12a－12b，∴DF→＝16a－16b，∵AD→＝OD→－OA→＝12BD→－12CA→＝12b＋12a，∴AF→＝AD→＋DF→＝23a＋13b.解析二、填空题6．▱ABCD的两条对角线相交于点M，且AC→＝a，AD→＝b，用a，b表示MB→，则MB→＝________.答案12a－b答案解析MB→＝12DB→＝DM→＝AM→－AD→＝12AC→－AD→＝12a－b.解析7．设{e1，e2}是平面内的一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可表示为另一组向量a，b的线性组合，则e1＋e2＝________a＋________b.答案23－13答案解析设e1＋e2＝λa＋μb，则e1＋e2＝λe1＋2λe2＋(－μe1)＋μe2，整理得e1＋e2＝(λ－μ)e1＋(2λ＋μ)e2，又e1与e2不共线，则λ－μ＝1，2λ＋μ＝1，解得λ＝23，μ＝－13.解析8．设{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基底，则向量a＝e1＋λe2与向量b＝－e1＋2e2共线的条件是________．解析向量a，b共线，即存在x∈R使b＝xa，即－e1＋2e2＝x(e1＋λe2)，整理得(x＋1)e1＋(λx－2)e2＝0.∵e1，e2不共线，∴x＋1＝0，λx－2＝0⇒x＝－1，λ＝－2.解析答案λ＝－2答案三、解答题9．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AD→，AE→，AF→.解AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→＝AB→＋12(BA→＋AC→)＝a＋12(b－a)＝12a＋12b；AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋13BC→＝AB→＋13(BA→＋AC→)＝a＋13(b－a)＝23a＋13b；AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋23BC→＝AB→＋23(BA→＋AC→)＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.答案10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．解(1)证明：设a＝λb(λ∈R)，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得λ＝1，3λ＝－2⇒λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．答案(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴m＋n＝3，－2m＋3n＝－1⇒m＝2，n＝1.∴c＝2a＋b.答案11．如图所示，平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解如图所示．以OC为对角线，作平行四边形OECF，且OA，OB在这个四边形的两邻边上．∵∠COF＝∠EOF－∠EOC＝120°－30°＝90°.在Rt△COF中，|OC→|＝23，∠OCF＝30°，答案∴CF＝OCcos30°＝4.∴O