2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.1.4 数乘向量 课时28 数乘向量

课时28数乘向量知识对点练知识点一数乘向量的概念1.已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|0解析当λ0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.解析答案C答案2．试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)若λa＝0，则λ＝0；(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ0，则λa与μb同向．解(1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．由λμ0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．答案知识点二数乘运算的运算律3.化简下列各式：(1)13×6a；(2)(－3)×14×8a；(3)7×－13a.解(1)13×6a＝13×6a＝2a.(2)(－3)×14×8a＝－34×8a＝－34×8a＝－6a.(3)7×－13a＝7×－13a＝－73a.答案4．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：(1)a＝3e，b＝－6e；(2)a＝8e，b＝16e；(3)a＝23e，b＝－13e；(4)a＝34e，b＝－23e.解(1)a＝3e＝－12×(－6)e，故a＝－12b.(2)a＝8e＝12×16e，故a＝12b.(3)a＝23e＝(－2)×－13e，故a＝－2b.(4)a＝34e＝－98×－23e，故a＝－98b.答案知识点三数乘向量的应用5.如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是()A．相等B．共线C．不共线D．不能确定解析∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．解析答案B答案6．已知AB→＝－2e，AC→＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.解由AB→＝－2e，得e＝－12AB→，由AC→＝3e，得e＝13AC→，故－12AB→＝13AC→，∴AC→＝－32AB→.答案即AB→与AC→平行，又AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线，又|AC→|＝32|AB→|，∴AB∶AC＝2∶3.答案课时综合练一、选择题1．下列说法中，正确的是()A．0a＝0B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反C．若b＝λa(a≠0)，则ba＝λD．若|b|＝|λa|(a≠0)，则|b||a|＝λ答案B答案解析A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，|b||a|应等于|λ|.故选B.解析2．3×8×－14a＝()A．－2aB．8aC．－6aD．4a解析3×8×－14a＝24×－14a＝－6a，故选C.解析答案C答案3．已知a＝－34e，b＝23e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于()A．－12B．－98C．－89D．－2解析由a＝－34e，得e＝－43a，故b＝23e＝23×－43a＝－89a，所以λ＝－89.故选C.解析答案C答案4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.rRB．－rRC．－RrD.Rr解析∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－Rr.解析答案C答案5．若AB→＝3e1，CD→＝－5e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形答案C答案解析∵AB→＝3e1，CD→＝－5e1，∴CD→＝－53AB→，∴AB→与CD→平行，且|CD→|＝53|AB→|，又|AD→|＝|BC→|，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.解析二、填空题6．下列说法正确的个数为________．①任意两个单位向量都相等；②与a同向的单位向量是a|a|；③2020cm长的有向线段不可能表示单位向量；④所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆．答案1答案解析①错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；②错误，若a＝0，则没有相应的单位向量；③错误，一个单位长度取2020cm时，2020cm长的有向线段恰好表示单位向量；④显然正确．解析7．若AP→＝13AB→，AB→＝λBP→，则实数λ的值为________．解析AP→＝13AB→，如图．结合图形可知AB→＝－32BP→.故λ＝－32.解析答案－32答案8．已知点C在线段AB上，且ACCB＝12，则AC→＝____AB→.解析如图，因为ACCB＝12，且点C在线段AB上，则AC→与CB→同向，且|AC→|＝12|CB→|，故AC→＝13AB→.解析答案13答案9．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP→＝2PA→，则△PAB与△PBC的面积之比是________．答案1∶2答案解析画出图形如图所示．∵CP→＝2PA→，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．又△PAB与△PBC的底边长之比为|PA→|∶|CP→|＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.解析三、解答题10．如图，已知非零向量a，求作向量2a，12a，－3a，－13a.解将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的12，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的13，就分别得到向量2a，12a，－3a，－13a，如图所示．答案11．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若AB→＝a，AD→＝b，试用a，b表示向量AC→.解因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以AB→＝3DC→，DC→＝13AB→＝13a，所以AC→＝AD→＋DC→＝b＋13a.答案本课结束