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课时24统计与概率的应用知识对点练知识点一统计在实际中的应用1.某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时、980小时、1030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1020×0.5＋980×0.2＋1030×0.3＝1015.解析答案501015答案2．甲、乙两位同学参加数学文化知识竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085现要从中选派一人参加正式比赛，从所抽取的两组数据分析，你认为选派哪位同学参加较为合适？并说明理由．解派甲参赛比较合适．理由如下：x－甲＝18×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85，x－乙＝18×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85，s2甲＝18×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s2乙＝18×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.答案因为x－甲＝x－乙，s2甲s2乙，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．(或派乙参赛比较合适．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的频率为f1＝38，乙获得85分以上(含85分)的频率为f2＝48＝12.因为f2f1，所以派乙参赛比较合适．)答案知识点二概率在实际中的应用3.某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋中红球接近多少个，在不将袋中球倒出来的情况下，分小组进行摸球试验，两人一组，共20组进行摸球试验．其中一名学生摸球，另一名学生记录所摸球的颜色，并将球放回袋中摇匀，每一组做400次试验，汇总起来后，摸到红球次数为6000次．(1)估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是________；(2)请你估计袋中红球接近________个．答案(1)34(2)15答案解析(1)∵20×400＝8000，∴摸到红球的频率为60008000＝34，∵试验次数很大，大量试验时，频率接近于理论概率，∴估计从袋中任意摸出一个球，恰好是红球的概率是34.(2)设袋中红球有x个，根据题意得xx＋5＝34，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的解．∴估计袋中红球接近15个．解析4．已知某音响设备由A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道五个部件组成，其中每个部件工作的概率如图所示，当且仅当A与B中有一个工作，C工作，D与E中有一个工作时能听到声音；且若D和E同时工作则有立体声效果．(1)求能听到立体声效果的概率；(2)求听不到声音的概率．解(1)能听到立体声效果的概率P1＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×0.94×0.94＝0.8352229.(2)能听到声音的概率P2＝[1－(1－0.9)×(1－0.95)]×0.95×[1－(1－0.94)2]＝0.9418471，从而所求概率为1－P2＝1－0.9418471＝0.0581529.答案5．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成三份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成四份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜；否则乙获胜．你认为这个游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方都公平？解列表如下：BA3456145672567836789由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因为P(和为6)＝312＝14，即甲、乙获胜的概率不相等，所以这个游戏规则不公平．规则改为：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和小于等于6，那么甲获胜；否则乙获胜．此时游戏对双方都公平．答案知识点三统计与概率的综合应用6.为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)求该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率．解(1)样本中男生人数为2＋5＋14＋13＋4＋2＝40，由分层抽样比例为10%知全校男生人数为4010%＝400.答案(2)由统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率f＝3570＝0.5.故由f估计该校学生身高在170～185cm之间的概率是0.5.(3)样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④；样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.答案从上述6人中任选2人的树状图如图所示．故从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，且每种可能性相等，至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，因此所求的概率是915＝35.答案易错点不能将实际问题转化为统计与概率问题求解致误7.在调查运动员服用兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面向上，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运动员，得到80个“是”的回答，试估计这群人中服用过兴奋剂的百分率．易错分析本题的易错之处是不能准确地将“80个‘是’”“一分为二”，得不出“5个回答‘是’的人服用过兴奋剂”这一结论，从而无法求解．解析正解因为掷硬币出现正面向上的概率为12，我们期望大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的．在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，其中5个回答“是”的人服用过兴奋剂，因此我们估计这群人中大约有3.33%的人服用过兴奋剂．课时综合练一、选择题1．某校高二(1)班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是34和45，且两人是否进球相互没有影响．现甲、乙各投篮一次，恰有一人进球的概率是()A.120B.320C.15D.720答案D答案解析有甲进球乙不进球、甲不进球乙进球两种情况，概率为P＝34×1－45＋1－34×45＝720.解析2．某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有()A．36人B．30人C．24人D．18人答案A答案解析设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意得3x－x＝12，x＝6，所以持“喜欢”态度的有6x＝36人．解析3．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为()A.2B．3C．4D．5答案D答案解析由图可知，该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的25%分位数为56－28＝28，该组数据有12个，12×25%＝3，设被污染的数字为x，则20＋x＋312＝28，得x＝5.故选D.解析4．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么没有相邻的两个人站起来的概率为()A.12B.1532C.1132D.516答案C答案解析假设有甲、乙、丙、丁、戊五个人按顺序围成一桌，五个人同时抛出自己的硬币，基本事件总数为2×2×2×2×2＝32.若五个人都坐着，有1种情况；若四个人坐着，一个人站着，有5种情况；若三个人坐着，不相邻的两个人站着，有甲丙、甲丁、乙丁、乙戊、丙戊5种情况，故没有相邻的两个人站起来所包含的基本事件共有1＋5＋5＝11个，故所求的概率为1132.选C.解析5．某校初三年级有400名学生，随机抽查了40名学生测试1分钟仰卧起坐的成绩(单位：次)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．用样本估计总体，下列结论正确的是()A．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为25B．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为24C．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约有80D．该校初三学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为8答案C答案解析第一组数据的频率为0.02×5＝0.1，第二组数据的频率为0.06×5＝0.3，第三组数据的频率为0.08×5＝0.4，∴中位数在第三组内，设中位数为25＋x，则x×0.08＝0.5－0.1－0.3＝0.1，∴x＝1.25，∴中位数为26.25，故A错误；第三组数据所在的矩形最高，第三组数据的中间值为27.5.∴众数为27.5，故B错误；1分钟仰卧起坐的次数超过30的频率为0.2，∴超过30次的人数为400×0.2＝80，故C正确；1分钟仰卧起坐的次数少于20的频率为0.1，∴1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数为400×0.1＝40，故D错误．故选C.解析6．有三个游戏规则如下，袋子中分别装有形状、大小相同的球，从袋中无放回地取球．游戏1游戏2游戏3袋中装有3个黑球和2个白球袋中装有2个黑球和2个白球袋中装有3个黑球和1个白球从袋中取出2个球从袋中取出2个球从袋中取出2个球若取出的两个球同色，则甲胜若取出的两个球同色，则甲胜若取出的两个球同色，则甲胜若取出的两个球不同色，则乙胜若取出的两个球不同色，则乙胜若取出的两个球不同色，则乙胜其中不公平的游戏是()A．游戏2B．游戏3C．游戏1和游戏2D．游戏1和游戏3答案C答案解析对于游戏1，取出两球同色的概率为25，取出两球不同色的概率为35，不公平；对于游戏2，取出两球同色的概率为13，取出两球不同色的概率为23，不公平；对于游戏3，取出两球同色即全是黑球，概率为12，取出两球不同色的概率为12，公平．故选C.解析二、填空题7．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为________，________.解析断头不超过两次的概率P1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.于是，断头超过两次的概率P2＝1－P1＝1－0.97＝0.03.解析答案0.970.03答案8．一篇关于“键盘侠”的时评引发了大家对“键盘侠”的热议(“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象)．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人．答案6912答案解析在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，所以可估计该地区