2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.

第五章三角函数5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)5.6.1匀速圆周运动的数学模型5.6.2函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象学习目标核心素养1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sinx的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．(难点)2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．(重点)3.求函数解析式时φ值的确定．(易错点)1.通过函数图象的变换，培养直观想象素养.2.借助函数的图象求解析式，提升数学运算素养.自主预习探新知1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响左右2．ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3．A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响缩短伸长伸长缩短1．把函数y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为()A．y＝sinx－π3B．y＝sinx＋π3C．y＝sinx－π3D．y＝sinx＋π3D[根据图象变换的方法，y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度后得到y＝sinx＋π3的图象．]2．为了得到函数y＝4sin12x－π6，x∈R的图象，只需将函数y＝4sinx－π6，x∈R的图象上的所有点()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变A[函数y＝4sinx－π6的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝4sin12x－π6的图象．]3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.4[由已知得A＋1＝5，故A＝4.]合作探究提素养【例1】(1)将函数y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为________．(2)将y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin2x＋π4＋1的图象？[思路点拨](1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式．(2)法一：y＝sinx→纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移．法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．三角函数图象之间的变换(1)y＝－2cos2x－3[y＝2cos2x＋π3的图象向左平移π3个单位长度，得y＝2cos2x＋π3＋π3＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x，再向下平移3个单位长度得y＝－2cos2x－3的图象．](2)[解]法一：(先伸缩法)①把y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sinx的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移π8个单位，得y＝2sin2x＋π8的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π4＋1的图象．法二：(先平移法)①将y＝sinx的图象沿x轴向左平移π4个单位，得y＝sinx＋π4的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y＝sin2x＋π4的图象；③把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y＝2sin2x＋π4的图象；④将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y＝2sin2x＋π4＋1的图象．由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y＝sinx――――→相位变换y＝sin(x＋φ)――――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinx――――→周期变换y＝sinωx――――→相位变换y＝sinωx＋φω＝sin(ωx＋φ)――――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．1．(1)要得到y＝cos2x－π4的图象，只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移π8个单位B．向右平移π8个单位C．向左平移π4个单位D．向右平移π4个单位(2)把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y＝2sin12x＋π3，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3cosxB．f(x)＝3sinxC．f(x)＝3cosx＋3D．f(x)＝sin3x(1)A(2)A[(1)因为y＝cos2x－π4＝sin2x－π4＋π2＝sin2x＋π4＝sin2x＋π8，所以将y＝sin2x的图象向左平移π8个单位，得到y＝cos2x－π4的图象．(2)y＝2sin12x＋π3――――――→纵坐标伸长到原来的32倍y＝3sin12x＋π3――――――→横坐标缩短到原来的12倍y＝3sinx＋π3――――――→向左平移π6个单位y＝3sinx＋π6＋π3＝3sinx＋π2＝3cosx．]【例2】(1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．y＝2cosx2－π4＋4B．y＝2cosx2＋π4＋4C．y＝4cosx2－π4＋2D．y＝4cosx2＋π4＋2已知函数图象求解析式(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2，且图象如图所示，求其解析式．[思路点拨]由最大(小)值求A和B，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ.(1)A[由函数f(x)的最大值和最小值得A＋B＝6，－A＋B＝2，所以A＝2，B＝4，函数f(x)的周期为π2－－π2×4＝4π，又ω＞0，所以ω＝12，又因为点π2，6在函数f(x)的图象上所以6＝2cos12×π2＋φ＋4，所以cosπ4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2kπ，k∈Z，所以φ＝2kπ－π4，k∈Z，又|φ|＜π2所以φ＝－π4，所以f(x)＝2cos12x－π4＋4.](2)[解]法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，又由点－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π3，所以f(x)＝3sin2x＋π3.法二：(方程法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，又图象过点－π6，0，所以f－π6＝3sin2－π6＋φ＝0，所以sin－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝kπ(k∈Z)，又因为|φ|＜π2，所以k＝0，φ＝π3，所以f(x)＝3sin2x＋π3.法三：(变换法)由图象知，振幅A＝3，T＝5π6－－π6＝π，所以ω＝2，且f(x)＝Asin(ωx＋φ)是由y＝3sin2x向左平移π6个单位而得到的，解析式为f(x)＝3sin2x＋π6＝3sin2x＋π3.确定函数y＝Asinωx＋φ的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω已知或代入图象与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.2五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点－φω，0作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：,“第一点”即图象上升时与x轴的交点为ωx＋φ＝0；,“第二点”即图象的“峰点”为ωx＋φ＝π2；,“第三点”即图象下降时与x轴的交点为ωx＋φ＝π；,“第四点”即图象的“谷点”为ωx＋φ＝3π2；,“第五点”为ωx＋φ＝2π.2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M2π3，－2，求f(x)的解析式．[解]由最低点M2π3，－2，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T2＝π2，即T＝π，ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈0，π2，∴φ＝π6.故f(x)＝2sin2x＋π6.[探究问题]1．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴方程？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴．三角函数图象与性质的综合应用函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)；函数y＝Acos(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ－φω(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝kπ－φω(k∈Z)．2．如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心？提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点．函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ－φω(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点kπ－φω，0(k∈Z)成中心对称；函数y＝Acos(ωx＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，则x＝2k＋1π－2φ2ω(k∈Z)，所以函数y＝Acos(ωx＋φ)的图象关于点2k＋1π－2φ2ω，0(k∈Z)成中心对称．【例3】(1)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω＞0)，若fπ6＝fπ3，且f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝()A.23B.143C.263D.383(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ＜π)是R上的偶函数，其图象关于点M3π4，0对称，且在区间0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[思路点拨](1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求ω的值．(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.(1)B[因为fπ6＝fπ3，所以直线x＝π6＋π32＝π4是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间π6，π3上有最小值，无最大值，所以