2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.自主预习探新知两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反cosαcosβ＋sinαsinβ1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝()A．32B．12C．－32D．－12B[∵sin14°＝cos76°，cos74°＝sin16°，∴原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝12.]2．cos(－15°)的值是()A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24D[cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝________.22[cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝22.]合作探究提素养【例1】(1)cos13π12的值为()A.6＋24B.6－24C.2－64D．－6＋24]给角求值问题(2)求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③12cos15°＋32sin15°.(1)D[cos13π12＝cosπ＋π12＝－cosπ12＝－cosπ4－π6＝－cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6＝－22×32－22×12＝－6＋24.](2)解：①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝32.③12cos15°＋32sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[解](1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos45°＝22.(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．给值(式)求值问题【例2】(1)已知sinα－sinβ＝1－32，cosα－cosβ＝12，则cos(α－β)＝()A．－32B．－12C.12D.32(2)已知sinπ3＋α＝1213，α∈π6，2π3，求cosα的值．[思路点拨](1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D[因为sinα－sinβ＝1－32，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－322，①因为cosα－cosβ＝12，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝122，②①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－3所以cos(α－β)＝32.(2)[解]∵α∈π6，2π3，∴π3＋α∈π2，π，∴cosπ3＋α＝－1－sin2π3＋α＝－1－12132＝－513.∵α＝π3＋α－π3，cosα＝cosπ3＋α－π3＝cosπ3＋αcosπ3＋sinπ3＋αsinπ3＝－513×12＋1213×32＝123－526.]1．将例2(2)的条件改为“sinα＋π4＝45，且π4α3π4”，如何解答？[解]∵sinα＋π4＝45，且π4α3π4，∴π2α＋π4π，∴cosα＋π4＝－1－452＝－35，∴cosα＝cosα＋π4－π4＝cosα＋π4cosπ4＋sinα＋π4sinπ4＝－35×22＋45×22＝210.2．将例2(2)的条件改为“sinπ3－α＝－1213，α∈π6，5π6”，求cosα－π12的值．[解]∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sinπ3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cosπ3－α＝1－sin2π3－α＝513，∴cosα－π12＝cosπ12－α＝cosπ3－α－π4＝22cosπ3－α＋22sinπ3－α＝22×513＋22×－1213＝－7226.给值求值问题的解题策略1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：①α＝α－β＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝α＋β＋α－β；④2β＝α＋β－α－β.【例3】已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，求角β的大小．[思路点拨]求cosα、sinα－β→求cosβ＝cos[α－α－β]→求β给值求角问题[解]因为sin(π－α)＝437，所以sinα＝437.因为0＜α＜π2，所以cosα＝1－sin2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0＜β＜π2，所以β＝π3.已知三角函数值求角的解题步骤1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.3结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.2．已知α，β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．[解]∵α，β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝31010，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又sinαsinβ，∴0αβπ2，∴－π2α－β0，故α－β＝－π4.1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．当堂达标固双基1．思考辨析(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()[提示](1)错误．cos(60°－30°)＝cos30°≠cos60°－cos30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cosα－cosβ＝cos(－45°)－cos45°＝0，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)正确．结论为两角差的余弦公式．(4)正确．cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝cos(120°－30°)＝cos90°＝0.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝1213，sinβ＝－35，则cos(α－β)的值为()A．－6365B．－3365C.6365D.3365A[∵α为锐角，cosα＝1213，∴sinα＝1－cos2α＝513，∵β为第三象限角，sinβ＝－35，∴cosβ＝－1－sin2β＝－45，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1213×－45＋513×－35＝－6365.]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝12.]4．已知sinα＝－45，sinβ＝513，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．[解]因为sinα＝－45，180°＜α＜270°，所以cosα＝－35.因为sinβ＝513，90°＜β＜180°，所以cosβ＝－1213，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－35×－1213＋－45×513＝3665－2065＝1665.