2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差

第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式(教师独具内容)课程标准：1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.核心概念掌握【知识导学】知识点一二倍角的正弦、余弦、正切公式公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈，在T2α中，α≠，且α≠．□07R□08kπ2＋π4(k∈Z)□09kπ＋π2(k∈Z)知识点二二倍角公式的变形形式(1)(sinα±cosα)2＝；(2)cos2α＝；(3)sin2α＝.□011±sin2α□021＋cos2α2□031－cos2α2【新知拓展】1．“二倍”的含义倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanα1＋tan2α，即sin2α＝2tanα1＋tan2α.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2α1＋tan2α，即cos2α＝1－tan2α1＋tan2α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．()(2)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(3)对任意角α，总有tan2α＝2tanα1－tan2α.()×√×2．做一做(1)计算cos215°－sin215°结果等于()A.12B.22C.33D.32(2)12sin15°cos15°的值等于()A.14B.18C.116D.12(3)已知cosα＝13，则cos2α等于()A.13B.23C．－79D.79(4)若tanα＝12，则tan2α＝()A.43B.34C.15D．－43答案(1)D(2)B(3)C(4)A答案核心素养形成题型一给角求值问题例1求下列各式的值：(1)sinπ12cosπ12；(2)1－2sin2750°；(3)2tan150°1－tan2150°；(4)cos20°cos40°cos80°.[解](1)原式＝2sinπ12cosπ122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12.答案(3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－3.(4)原式＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin40°cos40°cos80°4sin20°＝2sin80°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20°＝18.答案金版点睛正用、逆用二倍角公式求值对于给角求值问题，需观察题中角度间的关系，发现其特征，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用二倍角公式求值．注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化．[跟踪训练1]求下列各式的值：(1)cosπ5cos2π5；(2)12－cos2π8；(3)tanπ12－1tanπ12.解(1)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5＝sin2π5cos2π52sinπ5＝sin4π54sinπ5＝sinπ54sinπ5＝14.答案(2)原式＝1－2cos2π82＝－2cos2π8－12＝－12cosπ4＝－24.(3)原式＝tan2π12－1tanπ12＝－2×1－tan2π122tanπ12＝－2×1tanπ6＝－233＝－23.答案题型二给值求值问题例2已知cosα＋π4＝35，π2≤α3π2，求cos2α＋π4的值．[解]∵π2≤α3π2，∴3π4≤α＋π47π4.∵cosα＋π40，∴3π2α＋π47π4.∴sinα＋π4＝－1－cos2α＋π4＝－1－352＝－45.答案∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin2α＝－cos2α＋π2＝1－2cos2α＋π4＝1－2×352＝725.∴cos2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×－2425－725＝－31250.答案[结论探究]若本例条件不变，求cos2αsinπ4＋α的值．解∵π2≤α3π2，∴3π4≤π4＋α7π4.又cosα＋π4＝350，∴3π2π4＋α7π4，∴sinπ4＋α＝－45，∴cos2α＝sin2α＋π2＝2sinα＋π4cosα＋π4答案＝2×－45×35＝－2425，∴cos2αsinπ4＋α＝－2425－45＝65.答案金版点睛解决条件求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[跟踪训练2]已知x∈π4，π2，sinπ4－x＝－35，求cos2x的值．解解法一：由已知条件得cosx－sinx＝－325，将此式两边平方得2sinxcosx＝725.由此可得(cosx＋sinx)2＝3225.因为x∈π4，π2，所以sinx0，cosx0.答案所以cosx＋sinx＝425.故cos2x＝cos2x－sin2x＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝425×－325＝－2425.答案解法二：∵sinπ4－x＝－35，x∈π4，π2，∴π4－x∈－π4，0，cosπ4－x＝45.cos2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x＝2×－35×45＝－2425.答案题型三给值求角问题例3已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[解]∵tanα＝130，α∈(0，π)，∴α∈0，π2，2α∈(0，π)，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴2α∈0，π2.答案又∵tanβ＝－170，β∈(0，π)，∴β∈π2，π，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34－－171＋34×－17＝1，又∵2α∈0，π2，β∈π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.答案金版点睛在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.[跟踪训练3]已知tanα＝17，sinβ＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值．解∵tanα＝171，且α为锐角，∴0απ4，又∵sinβ＝101022，且β为锐角，∴0βπ4，∴0α＋2β3π4.由sinβ＝1010，β为锐角，得cosβ＝31010，∴tanβ＝13，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12，答案∴tan(α＋2β)＝tanα＋β＋tanβ1－tanα＋βtanβ＝12＋131－12×13＝1，故α＋2β＝π4.答案题型四有关化简与证明问题例4(1)化简：11－tanθ－11＋tanθ；(2)证明：1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α＝1tan2α.[解](1)原式＝1＋tanθ－1－tanθ1－tanθ1＋tanθ＝2tanθ1－tan2θ＝tan2θ.答案(2)证明：左边分子为2cos22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α·(cos2α＋sin2α)．左边分母为2sin22α＋2sin2αcos2α＝2sin2α(sin2α＋cos2α)．故两式相除，即cos2αsin2α＝1tan2α.答案金版点睛证明的本质问题实际上就是化简三角函数的化简与证明有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异，化繁为简，或用“两头凑”的方法．[跟踪训练4](1)化简cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________；(2)求证：sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1sin4x＝tanx.答案(1)2(2)见解析答案解析(1)cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2sin30°cos10°＋cos30°sin10°2sin240°＝2sin40°2sin40°＝2.(2)证法一：左边＝2sinxcosx－2sin2x2sinxcosx＋2sin2xsin4x＝4sin2xcos2x－sin2xsin4x＝4sin2xcos2x2sin2xcos2x＝4sin2x2×2sinxcosx＝tanx＝右边．故原等式成立．解析证法二：左边＝sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1sin2x＋cos2x2－1＝sin2x＋cos2x－1sin2x－cos2x＋1sin2x＋cos2x－1sin2x＋cos2x＋1＝sin2x＋1－cos2xsin2x＋1＋cos2x＝2sinxcosx＋2sin2x2sinxcosx＋2cos2x＝2sinxcosx＋sinx2cosxsinx＋cosx＝tanx＝右边．故原等式成立．解析随堂水平达标1．若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.解析答案D答案2．下列各式中，值为32的是()A．2sin15°cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°D．sin215°＋cos215°解析A项，2sin15°cos15°＝sin30°＝12；B项，cos215°－sin215°＝cos30°＝32；C项，2sin215°＝1－cos30°＝1－32；D项，sin215°＋cos215°＝1.故选B.解析答案B答案3．cos4π8－sin4π8的值为()A．0B.22C．1D．－22解析cos4π8－sin4π8＝cos2π8＋sin2π8cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22.解析答案B答案4．设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．解析∵α∈π2，π，∴sinα0，又∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12，∴sinα＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.解析答案3答案5．已知cosα＝－1213，α∈π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解∵cosα＝－1213，α∈π，3π2，∴sinα＝－1－cos2α＝－513，∴sin2α＝2sinαcosα＝2×－513×－1