2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α的值为()A．－13B．－79C.13D.79解析cos2π3＋2α＝－cosπ3－2α＝－cos2π6－α＝－1－2sin2π6－α＝2sin2π6－α－1＝－79.解析答案B答案2．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.43解析∵sinα＋cosαsinα－cosα＝12，∴2sinα＋2cosα＝sinα－cosα，整理得sinα＝－3cosα，即sinαcosα＝－3＝tanα，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝34.故选B.解析答案B答案3.2sin2α1＋cos2α·cos2αcos2α＝()A．tan2αB．tanαC．1D.12解析原式＝2sin2α2cos2α·cos2αcos2α＝tan2α.解析答案A答案4．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2A2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案B答案解析由sinBsinC＝cos2A2得sinBsinC＝1＋cosA2，∴2sinBsinC＝1＋cosA，∴2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，∴cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，又∵－180°B－C180°，∴B－C＝0°，∴B＝C，∴△ABC是等腰三角形．解析5．若△ABC的内角A满足sin2A＝23，则sinA＋cosA的值为()A.153B．－153C.53D．－53答案A答案解析∵sin2A＝2sinAcosA＝23，∴A为锐角，且1＋2sinAcosA＝53，即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝53.∴|sinA＋cosA|＝153.又∵A为锐角，∴sinA＋cosA＝153，故选A.解析二、填空题6．已知α为第二象限的角，sinα＝35，则tan2α＝________.解析由sinα＝35，且α为第二象限的角得cosα＝－45，得tanα＝－34，tan2α＝－247.解析答案－247答案7．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．解析设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝23，sinB＝1－cos2B＝1－232＝53.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2×53×23＝459.解析答案459答案8．已知角α，β为锐角，且1－cos2α＝sinαcosα，tan(β－α)＝13，则β＝________.解析由1－cos2α＝sinαcosα，得1－(1－2sin2α)＝sinαcosα，即2sin2α＝sinαcosα.∵α为锐角，∴sinα≠0，∴2sinα＝cosα，即tanα＝12.解析答案π4答案解法一：由tan(β－α)＝tanβ－tanα1＋tanβtanα＝tanβ－121＋12tanβ＝13，得tanβ＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.解析解法二：tanβ＝tan(β－α＋α)＝tanβ－α＋tanα1－tanβ－αtanα＝13＋121－13×12＝1.∵β为锐角，∴β＝π4.解析三、解答题9．已知角α在第一象限且cosα＝35，求1＋2cos2α－π4sinα＋π2的值．解∵cosα＝35且α在第一象限，∴sinα＝45.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，原式＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝145.答案10．已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2xcos5π4＋xsinπ＋x的值．解(1)由sinx2－2cosx2＝0，知cosx2≠0，∴tanx2＝2，∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.答案(2)由(1)，知tanx＝－43，∴cos2xcos5π4＋xsinπ＋x＝cos2x－cosπ4＋x－sinx＝cos2x－sin2x22cosx－22sinxsinx答案＝cosx－sinxcosx＋sinx22cosx－sinxsinx＝2×cosx＋sinxsinx＝2×1＋tanxtanx＝24.答案B级：“四能”提升训练1．求函数f(x)＝53cos2x＋3sin2x－4sinxcosx，x∈π4，7π24的最小值，并求其单调递减区间．解f(x)＝53·1＋cos2x2＋3·1－cos2x2－2sin2x＝33＋23cos2x－2sin2x＝33＋432cos2x－12sin2x＝33＋4sinπ3cos2x－cosπ3sin2x答案＝33＋4sinπ3－2x＝33－4sin2x－π3.因为π4≤x≤7π24，所以π6≤2x－π3≤π4.所以sin2x－π3∈12，22.所以当2x－π3＝π4，即x＝7π24时，答案f(x)取得最小值33－22.因为y＝sin2x－π3在π4，7π24上单调递增，所以f(x)在π4，7π24上单调递减．答案2．已知函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x－cos2x＋23sinxcosx.(1)化简f(x)；(2)若f(α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α.解(1)f(x)＝12cos2x－32sin2x－cos2x＋3sin2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.答案(2)f(α)＝sin2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜π2＋2kπ(k∈Z)，∴2kπ－π6＜2α－π6＜π3＋2kπ，k∈Z，∴cos2α－π6＝437，答案∴sin2α＝sin2α－π6＋π6＝sin2α－π6cosπ6＋cos2α－π6sinπ6＝17×32＋437×12＝5314.答案本课结束