2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差

第1课时两角差的余弦公式(教师独具内容)课程标准：1.经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义.2.理解利用两点间的距离公式导出两角差的余弦公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．教学重点：两角差的余弦公式的推导与运用．教学难点：两角差的余弦公式的推导过程.核心概念掌握【知识导学】知识点两角差的余弦公式(1)公式中的α，β都是任意角，可以为常量，也可以为变角．(2)公式右端的两部分为的积，连接符号与左边角的连接符号．□02同名三角函数□03相反【新知拓展】(1)逆用：cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．(2)角变换后使用cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.(3)移项使用cosαcosβ＝cos(α－β)－sinαsinβ；sinαsinβ＝cos(α－β)－cosαcosβ.(4)特殊化使用导出诱导公式cosπ2－α＝cosπ2cosα＋sinπ2sinα＝sinα.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()×√×2．做一做(1)cos30°cos60°＋sin30°sin60°等于()A.12B.32C．－12D．－32(2)设α∈0，π2，若sinα＝35，则2cosα－π4等于()A.75B.15C．－75D．－15(3)cos15°＝________.(4)已知cosα＝15，α∈0，π2，则cosα－π3＝________.答案(1)B(2)A(3)6＋24(4)1＋6210答案核心素养形成题型一给角求值例1计算：(1)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；(2)cos(β－15°)cos(β＋15°)＋sin(β－15°)sin(β＋15°)；(3)sin75°.[解](1)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos[(β－15°)－(β＋15°)]＝cos(－30°)＝cos30°＝32.(3)sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.答案金版点睛两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．[跟踪训练1]求下列各式的值：(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°；(3)12cos105°＋32sin105°.解(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝12.答案(2)sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝32.(3)12cos105°＋32sin105°＝cos60°cos105°＋sin60°sin105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝22.答案题型二给值(式)求值例2(1)已知tanθ＝43，θ∈0，π2，求cos2π3－θ；(2)已知α，β为锐角，且cosα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．[解](1)∵tanθ＝sinθcosθ＝43，且sin2θ＋cos2θ＝1，θ∈0，π2，sinθ0，cosθ0，解得sinθ＝45，cosθ＝35.∴cos2π3－θ＝cos2π3cosθ＋sin2π3sinθ＝－12×35＋32×45＝43－310.答案(2)∵0απ2，0βπ2，∴0α＋βπ.由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.又∵cosα＝45，∴sinα＝35.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1665×45＋6365×35＝513.答案[结论探究]若将本例(2)条件不变，求sinβ的值．解∵α，β为锐角，∴0α＋βπ，又cos(α＋β)＝－1665，∴sin(α＋β)＝6365，由cosα＝45，α为锐角，∴sinα＝35，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝513.又∵β为锐角，∴sinβ＝1－cos2β＝1213.答案金版点睛给值(式)求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[跟踪训练2]已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，求cosα＋π4的值．解因为α，β∈3π4，π，所以α＋β∈3π2，2π.所以cos(α＋β)＝1－sin2α＋β＝45.又β－π4∈π2，3π4，答案所以cosβ－π4＝－513，cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝45×－513＋－35×1213＝－5665.答案题型三给值求角问题例3(1)已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，π2，则β＝________；(2)已知α，β均为锐角，且sinα＝255，sinβ＝1010，则α－β＝________.[解析](1)∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝12.∵0βπ2，∴β＝π3.解析(2)∵α，β均为锐角，∴cosα＝55，cosβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×31010＋255×1010＝22.又∵sinαsinβ，∴0βαπ2，∴0α－βπ2.故α－β＝π4.解析[答案](1)π3(2)π4答案[条件探究]若本例(1)变为：已知cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，且α，β均为锐角，求β的值．解∵α为锐角且cosα＝17，∴sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．又sin(α＋β)＝5314sinα，∴α＋β∈π2，π.答案∴cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－53142＝－1114.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.又β为锐角，∴β＝π3.答案金版点睛已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．[跟踪训练3]已知sinα＋sinβ＝35，cosα＋cosβ＝45，0αβπ，求α－β的值．解因为(sinα＋sinβ)2＝352，(cosα＋cosβ)2＝452，以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1.所以cos(α－β)＝－12.因为0αβπ，所以－πα－β0，所以α－β＝－2π3.答案随堂水平达标1．cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为()A.12B.13C.32D.33解析原式＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12.解析答案A答案2．cos80°cos35°＋sin80°cos55°的值是()A.22B．－22C.12D．－12解析cos80°cos35°＋sin80°cos55°＝cos80°cos35°＋sin80°sin35°＝cos(80°－35°)＝cos45°＝22.解析答案A答案3．已知cosα＝1213，α∈3π2，2π，则cosα－π4的值为()A.5213B.7213C.17226D.7226解析因为α∈3π2，2π，所以sinα＝－513，所以cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝1213×22＋－513×22＝7226.解析答案D答案4.cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.解析原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝12.解析答案12答案5．已知sinα－sinβ＝－13，cosα－cosβ＝12，α，β为锐角，求cos(α－β)的值．解由sinα－sinβ＝－13，知sinαsinβ，又α，β为锐角，∴－π2α－β0.又sinα－sinβ＝－13，①cosα－cosβ＝12，②答案由①2＋②2，得2－2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1336，即cos(α－β)＝12×2－1336＝5972.答案本课结束