2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．cos20°＝()A．cos30°cos10°－sin30°sin10°B．cos30°cos10°＋sin30°sin10°C．sin30°cos10°－sin10°cos30°D．cos30°cos10°－sin30°cos10°解析cos20°＝cos(30°－10°)＝cos30°cos10°＋sin30°·sin10°.解析答案B答案2.2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2解析原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.解析答案C答案3．满足cosαcosβ＝32－sinαsinβ的一组α，β的值是()A．α＝13π12，β＝3π4B．α＝π2，β＝π3C．α＝π2，β＝π6D．α＝π3，β＝π4答案B答案解析∵cosαcosβ＝32－sinαsinβ，∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝32，即cos(α－β)＝32，经验证可知选项B正确．解析4．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是()A.35B.45C.2425D.725解析在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴斜边AB＝5.所以sinA＝BCAB＝45，cosA＝ACAB＝35，sinB＝ACAB＝35，cosB＝BCAB＝45.∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB＝35×45＋45×35＝2425.解析答案C答案5．已知x∈R，sinx－cosx＝m，则m的取值范围为()A．－1≤m≤1B．－2≤m≤2C．－1≤m≤2D．－2≤m≤1答案B答案解析sinx－cosx＝222sinx－22cosx＝2sin3π4sinx＋cos3π4cosx＝2cosx－3π4，因为x∈R，所以x－3π4∈R，所以－1≤cosx－3π4≤1.所以－2≤m≤2.故选B.解析二、填空题6．化简－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.解析－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°＝cos(40°－39°)＝cos1°.解析答案cos1°答案7．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值是________．解析由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，得sinα＋sinβ＝－sinγ.①同理由cosα＋cosβ＋cosγ＝0，得cosα＋cosβ＝－cosγ.②①2＋②2得cos(α－β)＝－12.解析答案－12答案8．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角，且α＜β，则α＋β的值为________．答案3π4答案解析∵0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0,0＜2α＜π.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255.由cos2α＝1010，得sin2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×－255＝－22.又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.解析三、解答题9．已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，求角β的值．解由α－β∈π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513，答案cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×－1213＋－513×513＝－1.又∵α－β∈π2，π，α＋β∈3π2，2π，∴2β∈π2，3π2，∴2β＝π，则β＝π2.答案10．已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝105.(1)求cos(α－β)的值；(2)若cosα＝35，求cosβ的值．解(1)由|AB|＝105，得cosα－cosβ2＋sinα－sinβ2＝105，∴2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝25，∴cos(α－β)＝45.答案(2)∵cosα＝35，∴sinα＝45，sin(α－β)＝±35.当sin(α－β)＝35时，cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝2425.当sin(α－β)＝－35时，答案cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.∵β为锐角，∴cosβ＝2425.答案B级：“四能”提升训练1．已知cosα－β2＝－35，sinα2－β＝1213，且α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2的值．解∵π2απ，0βπ2，∴π4α2π2，0β2π4，π2α＋β3π2.∴π4α－β2π，－π4α2－βπ2，π4α＋β23π4.又cosα－β2＝－35，sinα2－β＝1213，答案∴sinα－β2＝45，cosα2－β＝513.∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－35×513＋45×1213＝－1565＋4865＝3365.答案2．已知函数f(x)＝2cosωx＋π6(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋5π3＝－65，f5β－5π6＝1617，求cos(α－β)的值．解(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15.答案(2)因为f5α＋5π3＝－65，所以2cos155α＋5π3＋π6＝2cosα＋π2＝－65.所以sinα＝35.又因为f5β－5π6＝1617，所以2cos155β－5π6＋π6＝2cosβ＝1617.答案所以cosβ＝817.因为α，β∈0，π2，所以cosα＝45，sinβ＝1517，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝45×817＋35×1517＝7785.答案本课结束