2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.3 正

5.4.3正切函数的性质与图象(教师独具内容)课程标准：1.掌握正切函数的周期性，并会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tanx的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的单调性．教学重点：正切函数的性质与图象．教学难点：利用正切函数的图象研究正切函数的单调性及值域.核心概念掌握【知识导学】知识点一正切函数的图象(1)正切函数的图象(2)正切函数的图象叫做．(3)正切函数的图象特征正切曲线是由被相互平行的直线，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．□01正切曲线□02x＝π2＋kπ知识点二正切函数的性质(1)正切函数的性质(2)函数y＝tanωx(ω≠0)的最小正周期是.□07π|ω|【新知拓展】(1)画函数y＝tanx，x∈－π2，π2上的简图时，可采用“三点两线”法，即可以先描三点－π4，－1，(0,0)，π4，1，再画两条平行的虚线x＝－π2，x＝π2，最后连线．这两条虚线实质是正切函数图象的两条渐近线．(2)虽然正切函数y＝tanx在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，但不能说正切函数在其定义域上单调递增．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.()(2)正切函数在整个定义域上单调递增．()(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．()(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．()×√××2．做一做(1)y＝tanx()A．在整个定义域上单调递增B．在整个定义域上单调递减C．在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增D．在每一个闭区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增(2)y＝tanx－π4的定义域是()A.xx≠π4B.xx≠－π4C.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠kπ＋3π4，k∈Z(3)函数y＝2tan3x＋π4的最小正周期是________．(4)函数y＝tanx－π3的单调增区间为________．答案(1)C(2)D(3)π3(4)kπ－π6，kπ＋5π6(k∈Z)答案核心素养形成题型一正切函数的基本性质例1求函数y＝tanx3－π3的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心．[解]①由x3－π3≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠3kπ＋5π2，k∈Z.∴函数的定义域为xx≠3kπ＋5π2，k∈Z.②T＝π13＝3π，∴函数的最小正周期为3π.答案③由kπ－π2＜x3－π3＜kπ＋π2，k∈Z，解得3kπ－π2＜x＜3kπ＋5π2，k∈Z.∴函数的单调递增区间为3kπ－π2，3kπ＋5π2，k∈Z，无单调递减区间．④由x3－π3＝kπ2，k∈Z，得x＝3kπ2＋π，k∈Z.∴函数的对称中心是3kπ2＋π，0，k∈Z.答案金版点睛求函数周期与单调区间的方法(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法若ω0，由于y＝tanx在每一个单调区间上递增，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2ωx＋φkπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．若ω0，可利用诱导公式先把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数为非奇非偶函数，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．[跟踪训练1]求函数y＝－2tan3x＋π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调性．解①3x＋π3≠π2＋kπ，k∈Z，∴定义域xx≠π18＋kπ3，k∈Z.②函数的值域为R.③函数的最小正周期为T＝π3.答案④∵该函数的定义域不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数．⑤－π2＋kπ＜3x＋π3＜π2＋kπ，k∈Z，∴－5π18＋kπ3＜x＜π18＋kπ3，k∈Z，∴函数的单调递减区间为－5π18＋kπ3，π18＋kπ3，k∈Z.答案题型二正切函数的单调性及应用例2(1)求函数y＝tan12x－π4的单调区间；(2)比较tan－13π4与tan－12π5的大小；(3)已知f(x)＝tan2x－2tanx|x|≤π3，求f(x)的值域．[解](1)由kπ－π2＜12x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)得，2kπ－π2＜x＜2kπ＋3π2，k∈Z，所以函数y＝tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．(2)由于tan－13π4＝tan－4π＋3π4＝tan3π4＝－tanπ4，tan－12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan2π5，答案又0＜π4＜2π5＜π2，而y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ4＜tan2π5，－tanπ4＞－tan2π5，即tan－13π4＞tan－12π5.答案(3)令tanx＝t，由|x|≤π3，则t∈[－3，3]．即有y＝t2－2t＝(t－1)2－1，则y在[－3，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．∴y的最大值为3＋23，最小值为－1.∴f(x)的值域为[－1,3＋23]．答案[条件探究]把本例(1)改为求y＝tan－12x＋π4的单调区间．解y＝tan－12x＋π4＝－tan12x－π4，则由kπ－π212x－π4kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π2x2kπ＋3π2(k∈Z)．∴函数y＝tan－12x＋π4的单调递减区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．答案金版点睛运用正切函数的单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．[跟踪训练2](1)比较tan1，tan2，tan3的大小；(2)求函数y＝3tanπ4－2x的单调区间．解(1)因为tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．又因为π2＜2＜π，所以－π2＜2－π＜0.因为π2＜3＜π，所以－π2＜3－π＜0.显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，又y＝tanx在－π2，π2上单调递增，答案所以tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，即tan2＜tan3＜tan1.(2)y＝3tanπ4－2x＝－3tan2x－π4，由－π2＋kπ＜2x－π4＜π2＋kπ(k∈Z)，得－π8＋kπ2＜x＜3π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝3tanπ4－2x的单调递减区间为－π8＋kπ2，3π8＋kπ2(k∈Z).答案题型三与正切函数有关的定义域问题例3求函数y＝tanx＋lg(1－tanx)的定义域．[解]函数y＝tanx＋lg(1－tanx)有意义，等价于tanx≥0，1－tanx0，解得0≤tanx1.由正切函数图象可得kπ≤xkπ＋π4，k∈Z.所以原函数的定义域为xkπ≤xkπ＋π4，k∈Z.答案金版点睛解正切不等式的步骤(1)作出正切函数y＝tanx在－π2，π2上的图象；(2)求出在－π2，π2内使tanx＝a成立的x的值；(3)利用图象确定不等式在－π2，π2内的解集；(4)结合函数的周期性把(3)中的解集扩展到整个定义域内．[跟踪训练3]求下列函数的定义域：(1)y＝11＋tanx；(2)y＝lg(3－tanx)．解(1)要使函数y＝11＋tanx有意义，必须且只需1＋tanx≠0，x≠kπ＋π2k∈Z，所以函数的定义域为xx∈R且x≠kπ－π4，x≠kπ＋π2，k∈Z.答案(2)因为3－tanx＞0，所以tanx＜3.又因为当tanx＝3时，x＝π3＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－π2＜x＜kπ＋π3(k∈Z)，所以函数的定义域是xkπ－π2＜x＜kπ＋π3，k∈Z.答案题型四正切函数图象的应用例4画出函数y＝|tanx|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．[解]y＝|tanx|＝tanx，x∈kπ，kπ＋π2k∈Z，－tanx，x∈kπ－π2，kπk∈Z.答案可作出其图象(如图)，由图象知函数y＝|tanx|的单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)，单调递增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)．∴该函数是偶函数，周期为π.答案金版点睛作函数y＝|f(x)|以及周期函数图象的方法(1)作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：①保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；②将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．(2)若函数为周期函数，可先研究其一个周期内的图象，再利用周期性，延展到定义域上即可．[跟踪训练4]设函数f(x)＝tanx2－π3.(1)求函数f(x)的周期，对称中心；(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．解(1)∵f(x)＝tanx2－π3，∴ω＝12，∴周期T＝πω＝π12＝2π.由x2－π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ＋2π3(k∈Z)，故函数的对称中心是kπ＋2π3，0，k∈Z.答案(2)令x2－π3＝0，得x＝2π3，令x2－π3＝π2，得x＝5π3.令x2－π3＝－π2，得x＝－π3.∴函数f(x)＝tanx2－π3的图象与x轴的一个交点坐标是2π3，0，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－π3，x＝5π3，从而得函数f(x)＝tanx2－π3在一个周期－π3，5π3内的简图(如图)．答案答案随堂水平达标1．函数y＝3tan12x＋π3的一个对称中心是()A.π6，0B.2π3，－33C.－2π3，0D．(0,0)解析由12x＋π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ－2π3(k∈Z)．令k＝0，得函数y＝3tan12x＋π3的一个对称中心是－2π3，0.故选C.解析答案C答案2．下列函数中，同时满足：①在0，π2上单调递增，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tanxB．y＝cosxC．y＝tanx2D．y＝|sinx|解析经验证，选项B，D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给函数的周期为2π.故选A.解析答案A答案3．与函数y＝tan2x＋π4的图象不相交的一条直线是()A．x＝π2B．x＝－π2C．x＝π4D．x＝π8解析令2x＋π4＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π8(k∈Z)，所以与函数图象不相交的一条直线为x＝π8.解析答案D答案4．－tan6π5与tan－13π5的大小关系是________．解析－tan6π5＝－tanπ5，tan－13π5＝－tan13π5＝－tan3π5.因为0π5π23π5π，所以tanπ50，tan3π50.所以－tanπ5－tan3π5，即－tan6π5tan