2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制课

5.1.2弧度制(教师独具内容)课程标准：了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．教学重点：1.弧度制的意义.2.角度与弧度的互化.3.弧度制下，弧长和扇形面积公式的运用．教学难点：弧度制的概念及角度与弧度的互化.核心概念掌握【知识导学】知识点一角的单位制(1)用作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)长度等于的圆弧所对的叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作，通常略去不写．以作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．□01度□02半径长□03圆心角□04弧度□05弧度(3)弧度数的计算知识点二角度与弧度的换算(1)角度制与弧度制的换算(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π知识点三扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r，弧长为l，α(0α2π)为其圆心角的弧度数，n为圆心角的角度数，则扇形的弧长：l＝nπr180＝，扇形的面积：S＝nπr2360＝＝12α·r2.□01αr□0212lr【新知拓展】(1)无论是以“度”还是以“弧度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的定值，仅仅是为了能使概念描述更具体的一个“过渡量”而已．(2)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度为单位表示角时，度就不能省去．(3)用弧度为单位表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数，如45°＝π4弧度，不必写成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋π4，k∈Z，都不正确．(5)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．()(3)用弧度表示的角都是正角．()(4)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()×××√2．做一做(1)在半径为5cm的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为()A.4π3cmB.20π3cmC.10π3cmD.50π3cm(2)－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．答案(1)B(2)－3π4660°答案核心素养形成题型一弧度制的概念例1下列命题中，假命题是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC．1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关[答案]D解析[解析]根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是假命题．选项A，B，C均为真命题．答案金版点睛角度制和弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指圆周角的1360的角，大小显然不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写．但两者不能混用，即在同一表达式中不能出现两种度量方法．[跟踪训练1]下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角一样大解析弧度是度量角的大小的一种单位，而不是长度的度量单位，1弧度是长度等于半径的圆弧所对圆心角的大小，与圆的半径无关，故选D.解析答案D答案题型二角度和弧度的换算例2把下列各角用另一种度量制表示出来：112°30′；36°；－5π12；3.5.[解]112°30′＝2252×π180＝5π8.36°＝36×π180＝π5.－5π12＝－5π12×180π°＝－75°.3．5＝3.5×180π°≈3.5×57.3°＝200.55°(或200°33′)．答案金版点睛用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为1°与1是完全不同的两个角.[跟踪训练2](1)－300°化为弧度是()A．－4π3B．－5π3C．－7π4D．－7π6(2)8π5化为度数是()A．278°B．280°C．288°D．318°答案(1)B(2)C答案解析(1)－300°＝－300×π180＝－5π3.(2)8π5＝85×180°＝288°.解析题型三用弧度制表示角的集合例3已知角α＝2005°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角．[解](1)2005°＝2005×π180rad＝401π36rad＝5×2π＋41π36rad，又π41π363π2，∴角α与41π36终边相同，是第三象限的角．答案(2)与α终边相同的角为2kπ＋41π36(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋41π360，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)内与α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.答案金版点睛用弧度制表示终边相同的角2kπ＋αk∈Z时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.[跟踪训练3](1)将－1125°表示成2kπ＋α，0≤α2π，k∈Z的形式为________；(2)用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合．答案(1)－8π＋7π4(2)见解析答案解析(1)∵－1125°＝－1125×π180＝－25π4，∴－25π4＝－8π＋7π4，即－1125°＝－8π＋7π4.(2)因为终边落在OA处的角θ＝2kπ＋5π12，k∈Z，终边落在OB处的角θ＝2kπ－π6，k∈Z，所以终边落在阴影部分的角的集合为θ2kπ－π6θ2kπ＋5π12，k∈Z.解析题型四扇形的弧长及面积公式的应用例4(1)已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为____cm2；(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？[答案](1)4(2)见解析答案[解析](1)设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝12lr＝12×4×2＝4(cm2)．(2)设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12lR＝(π－1)R2.解析金版点睛弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0α2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[跟踪训练4]已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6，求：(1)AB︵的长；(2)扇形所含弓形的面积(即阴影面积)．解(1)∵120°＝2π3，∴AB︵的长l＝2π3×6＝4π.(2)S扇形AOB＝12lr＝12×4π×6＝12π.答案如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝12AB·OD＝12×2×33×3＝93，∴弓形的面积为S扇形AOB－S△AOB＝12π－93.答案随堂水平达标1．2145°转化为弧度数为()A.163B.322C.16π3D.143π12解析2145°＝2145×π180rad＝143π12rad.解析答案D答案2．α＝－2rad，则α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析∵1rad≈57.30°，∴－2rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限．解析答案C答案3．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为________．解析A∶B∶C＝3∶5∶7，则A占总度数的33＋5＋7＝15；B占总度数的53＋5＋7＝13；C占总度数的73＋5＋7＝715.又三角形的内角和为π，则A为π5，B为π3，C为7π15.解析答案π5，π3，7π15答案4．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为________．解析若角α的终边落在第二象限，则2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z.解析答案α2kπ＋π2α2kπ＋π，k∈Z答案5．(1)把310°化成弧度；(2)把5π12rad化成角度；(3)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．解(1)310°＝π180rad×310＝31π18rad.(2)5π12rad＝180π×5π12°＝75°.(3)解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12π1017π12，故αβγθ＝φ.解法二(化为角度)：β＝π10＝π10×180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×180π°＝105°.显然，15°18°57.30°105°，故αβγθ＝φ.答案本课结束