2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第3课时）不同函

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第3课时不同函数增长的差异学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及一次函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.自主预习探新知三种函数模型的性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝kx(k0)在(0，＋∞)上的增减性_____________________________图象的变化趋势随x增大逐渐近似与平行随x增大逐渐近似与平行保持固定增长速度增函数增函数增函数y轴x轴增长速度①y＝ax(a1)：随着x的增大，y增长速度，会远远大于y＝kx(k0)的增长速度，y＝logax(a1)的增长速度；②存在一个x0，当xx0时，有越来越快越来越慢axkxlogax1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝exB．y＝lnxC．y＝2xD．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③[结合图象可知②③正确，故填②③.]合作探究提素养【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2019xB．y＝2019C．y＝log2019xD．y＝2019x几类函数模型的增长差异(2)下面对函数f(x)＝log12x，g(x)＝12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝ax，在a1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝log12x，g(x)＝12x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]常见的函数模型及增长特点1线性函数模型线性函数模型y＝kx＋bk0的增长特点是直线上升，其增长速度不变.2指数函数模型指数函数模型y＝axa1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.3对数函数模型对数函数模型y＝logaxa1的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f32与g32，f(2019)与g(2019)的大小．指数函数、对数函数与一次函数模型的比较[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴f32＜g32；当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数.2．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线y＝kx＋b(k≥0)、指数函数y＝ax(a1)、对数函数y＝logbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上升，其增长量固定不变.当堂达标固双基1．思考辨析(1)函数y＝2x比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当a1，n0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logaxkxax成立．()(3)函数y＝log12x衰减的速度越来越慢．()[答案](1)×(2)×(3)√2．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝1B．y＝xC．y＝3xD．y＝log3xC[结合函数y＝1，y＝x，y＝3x及y＝log3x的图象可知(图略)，随着x的增大，增长速度最快的是y＝3x.]3．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]4．画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．[解]函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得：当0≤x4时，f(x)g(x)；当x＝4时，f(x)＝g(x)；当x4时，f(x)g(x)．