2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.1 指数（第2课时）指数幂及运

第四章指数函数与对数函数4.1指数第2课时指数幂及运算学习目标核心素养1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2．掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)1.通过分数指数幂、运算性质的推导，培养逻辑推理素养．2．借助指数幂的运算性质对代数式化简或求值，培养数学运算素养.自主预习探新知1．分数指数幂的意义正分数指数幂规定：amn＝_____(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝______(a0，m，n∈N*，且n1)分数指数幂0的分数指数幂0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂____意义nam1nam0没有思考：在分数指数幂与根式的互化公式amn＝nam中，为什么必须规定a0?提示：①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即nam＝amn＝0，无研究价值．②若a0，amn＝nam不一定成立，如(－2)32＝2－23无意义，故为了避免上述情况规定了a0.2．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝(a0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a0，b0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．ar＋sarsarbr实数1．下列运算结果中，正确的是()A．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝1D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]2．425等于()A．25B.516C.415D.54B[425＝542＝516，故选B.]3．已知a0，则a－23等于()A.a3B.13a2C.1a3D．－3a2B[a－23＝1a23＝13a2.]4．(m12)4＋(－1)0＝________.m2＋1[(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]合作探究提素养【例1】将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)aa(a0)；(2)13x5x22；(3)4b－23－23(b0)．根式与分数指数幂的互化[解](1)原式＝a·a12＝a32＝a3212＝a34.(2)原式＝13x·x252＝13x·x45＝13x95＝1x9513＝1x35＝x－35.(3)原式＝b－2314－23＝b－23×14×－23＝b19.根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．1．将下列根式与分数指数幂进行互化：(1)a3·3a2；(2)a－4b23ab2(a0，b0)．[解](1)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(2)a－4b23ab2＝a－4b2·ab213＝a－4b2a13b23＝a－113b83＝a－116b43.【例2】化简求值：利用分数指数幂的运算性质化简求解指数幂运算的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.2负指数幂化为正指数幂的倒数.3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.2．(1)计算：2350＋2－2×214－12－(0.01)0.5；(2)化简：3a72a－3÷3a－8·3a15÷3a－3·a－1(a0)．[探究问题]1.a＋1a2和a－1a2存在怎样的等量关系？指数幂运算中的条件求值提示：a＋1a2＝a－1a2＋4.2．已知a＋1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？提示：设a＋1a＝m，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝n，则n＝m2－2，∴m＝n＋2.即a＋1a＝n＋2.【例3】已知a12＋a－12＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.[思路点拨]a12＋a－12＝4――――→两边平方得a＋a－1的值――――→两边平方得a2＋a－2的值[解](1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±83，即a－a－1＝±83.2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±83×14＝±1123.解决条件求值的思路1在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形，沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.2在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.1．对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．2．解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”．当堂达标固双基1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()(4)amn可以理解为mn个a.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．把根式aa化成分数指数幂是()A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a32D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]3．已知x12＋x－12＝5，则x2＋1x的值为()A．5B．23C．25D．27B[∵x12＋x－12＝5，∴x＋x－1＝23，即x2＋1x＝23.]