2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较 课时9

课时9增长速度的比较知识对点练知识点一函数的平均变化率1.函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为()A．0B．1C．2D．3解析当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为5－32－1＝2.故选C.解析答案C答案2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是()A．1B．－1C．2D．－2解析ΔyΔx＝1－33－1＝－1.解析答案B答案3．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．解析在x＝1附近的平均变化率为k1＝f1＋Δx－f1Δx＝1＋Δx2－1Δx＝2＋Δx；解析答案3答案在x＝2附近的平均变化率为k2＝f2＋Δx－f2Δx＝2＋Δx2－22Δx＝4＋Δx；在x＝3附近的平均变化率为k3＝f3＋Δx－f3Δx＝3＋Δx2－32Δx＝6＋Δx.对任意Δx有，k1k2k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．解析4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝1x中，平均变化率最大的是________．解析Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋Δx＝－1013.∴k3k2k1k4.解析答案③答案知识点二函数平均变化率的应用5.四人赛跑，假设他们走过的路fi(x)(i∈{1,2,3,4})和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A．f1(x)＝x2B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2xD．f4(x)＝2x解析显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)＝2x.故选D.解析答案D答案6．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝15－1070－50＝14，∴hBChAB.∴山路从B到C比从A到B要陡峭的多．答案7．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)g(1＋Δx)成立的Δx的取值范围．解f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．函数f(x)＝2x＋3在R上的平均变化率恒为2.函数g(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔgΔx＝1＋Δx2－1Δx＝Δx＋22.又因为当2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)时，f(x)＝g(x)，所以当Δx3－1＝2时，f(1＋Δx)g(1＋Δx)成立，所以满足条件的Δx的取值范围为(2，＋∞)．答案8．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](nm)上的平均变化率为m＋n.求证f(x)是一个二次函数．证明函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为ΔfΔx＝fn－fmn－m＝m＋n.变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，f(n)－n2＝f(m)－m2.令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数，所以有f(x)＝x2＋c.所以函数f(x)是一个二次函数．答案9．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．解函数g(x)＝3x－4在R上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2,5]上的平均变化率大于3.即ΔfΔx＝f5－f25－23.所以f(5)－f(2)9.答案课时综合练一、选择题1．函数f(x)＝2x从x＝12到x＝2的平均变化率为()A．2B.23C.223D.2解析由题意知函数f(x)＝2x从x＝12到x＝2的增量为Δf＝f(2)－f12＝2×2－2×12＝2－1＝1，∴f(x)＝2x从x＝12到x＝2的平均变化率为ΔfΔx＝12－12＝23，故选B.解析答案B答案2．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为()A．6.3B．36.3C．3.3D．9.3解析S(3)＝12，S(3.3)＝13.89，∴平均速率v－＝S3.3－S33.3－3＝1.890.3＝6.3.故选A.解析答案A答案3．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为()A．2－ΔxB．－2－ΔxC．2＋ΔxD．(Δx)2－2Δx答案B答案解析ΔfΔx＝f2＋Δx－f2Δx＝－2＋Δx2＋22＋Δx－－4＋4Δx＝－4－Δx2－4Δx＋4＋2ΔxΔx＝－Δx2－2ΔxΔx＝－Δx－2.故选B.解析4．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是()A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝x，d：y＝2－xB．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝xC．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝x，d：y＝2－xD．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝x答案C答案解析a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.解析5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)g(x)h(x)B．g(x)f(x)h(x)C．g(x)h(x)f(x)D．f(x)h(x)g(x)解析画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)f(x)h(x)．解析答案B答案二、填空题6．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)，则直线AB的斜率为________．解析直线AB的斜率为函数f(x)，在区间[0,1]上的平均变化率ΔfΔx＝f1－f01－0＝2－11＝1.解析答案1答案7．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案y2答案解析以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．解析8．如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．答案③答案解析在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v－＝s0t0，故①②错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s2－s0s1－s0，t1－t00，所以s2－s0t1－t0s1－s0t1－t0，故③正确，④错误．解析三、解答题9．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这两个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．解Δf1Δx＝24－222＝6，Δf2Δx＝42－222＝6，Δf3Δx＝34－322＝36.Δf4Δx＝43－232＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为Δf3ΔxΔf4ΔxΔf2Δx＝Δf1Δx.答案10．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，而且f(x)在定义域内的任意区间上的平均变化率均比g(x)＝x2－x＋1在同一区间内的平均变化率大，求证：f(4)－f(2)10.证明函数g(x)在区间[2,4]上的平均变化率为ΔgΔx＝42－4＋1－22－2＋12＝5.根据题意，函数f(x)在区间[2,4]上的平均变化率ΔfΔx＝f4－f225，所以f(4)－f(2)10.答案本课结束