2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数 课时8 幂函数

课时8幂函数知识对点练知识点一幂函数的概念及图像1.如图，函数y＝1x，y＝x，y＝1的图像和直线x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数f(x)的图像经过的部分是④⑧，则f(x)可能是()答案B答案解析∵函数y＝xα的图像过④⑧部分，∴函数y＝xα在第一象限内单调递减，∴α0，故排除A，C.对于B，又x＝2时，y＝12，11212，∴函数y＝1x的图像经过⑧部分，当x＝12时，y＝2，122，解析∴函数y＝1x的图像经过④部分，∴B符合题意．对于D，当x＝2时，y＝14，1412，∴排除D.故选B.解析2．函数f(x)＝(m2－m＋1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函数，求f(x)的解析式．解根据幂函数的定义得m2－m＋1＝1，解得m＝0或m＝1.当m＝0时，f(x)＝x－3，在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m＝1时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上是减函数，符合题意．故f(x)的解析式为f(x)＝x－3或f(x)＝x－1.答案知识点二幂函数的奇偶性3.下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是()解析偶函数为B，C两项，但过(0,0)的只有B项．解析答案B答案答案B答案解析f(x)＝3x2，∵x∈R，f(－x)＝3－x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且在第一象限上单调递增．故选B.解析知识点三幂函数的单调性5.下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是()答案C答案解析解析6．若幂函数的图像过点(2，34)，则它的单调递减区间是________．解析设f(x)＝xα，由2α＝34，解析答案(－∞，0)答案知识点四幂函数的综合问题7.点(2，2)与点－2，－12分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上．当x为何值时，有：(1)f(x)＞g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)＜g(x)．解设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.答案分别作出它们的图像，如图所示．由图像知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)＜g(x).答案易错点条件考虑不全致误答案－1，23答案正解答案课时综合练一、选择题1．下列幂函数在(－∞，0)上为减函数的是()解析解析答案B答案2．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α组成的集合为()A．{－1,1}B．{1,3}C.1，12，3D．{－1,3}解析满足定义域为R的有1，3；满足奇函数的有－1，1,3.故选B.解析答案B答案答案D答案解析∴ab，构造指数函数y＝12x，∵其在(0，＋∞)上递减，∴ca，即cab.故选D.解析4．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图像不过原点，且关于原点对称，则()A．m＝－2B．m＝－1C．m＝－2或m＝－1D．－3≤m≤－1解析根据幂函数的概念，得m2＋3m＋3＝1，解得m＝－1或m＝－2.若m＝－1，则y＝x－4，其图像不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m＝－2，则y＝x－3，其图像不过原点，且关于原点对称．解析答案A答案5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图像可能是()答案C答案解析当a0时，函数y＝ax－1a是减函数，且在y轴上的截距－1a0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，∴A，B，C，D项均不正确．若a0，则y＝ax－1a是增函数，截距－1a0，y＝xa在(0，＋∞)上是增函数．故选C.解析二、填空题解析解析答案23，32答案解析当α＝1时，不符合，解析答案3答案8．若函数f(x)是幂函数，且满足f4f2＝3，则f12的值等于________．解析设f(x)＝xα，则f4f2＝4α2α＝2α＝3，∴α＝log23，解析答案13答案三、解答题9．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定f(x)的解析式．解由题意得m2－2m－3≤0，m2－2m－3是偶数，m∈Z，解得m＝－1,1,3.当m＝－1和3时，f(x)＝x0＝1(x≠0)；当m＝1时，f(x)＝x－4.答案(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．解(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，∴m与m＋1中必定有一个为偶数，∴m2＋m为偶数，答案由f(2－a)f(a－1)，得2－a≥0，a－1≥0，2－aa－1，解得1≤a32.故m的值为1，满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围为1≤a32.答案本课结束