2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数、对数函数与幂函数 4.1.2 指数函数的性质与图

课时2指数函数的性质与图像知识对点练知识点一指数函数的概念1.下列函数①y＝3x2，②y＝4x，③y＝22x，④y＝3×2x，⑤y＝3x＋1中，一定为指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．3解析②是指数函数，③y＝22x＝4x是指数函数；①④⑤均不是．解析答案C答案2．函数y＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，则a的值是()A．a＞0，a≠1B．a＝1C．a＝12D．a＝1或a＝12解析由指数函数的定义得2a2－3a＋2＝1，a＞0，a≠1，解得a＝12，故选C.解析答案C答案知识点二指数函数的图像3.若函数y＝3x＋(b－1)的图像不经过第二象限，则有()A．b1B．b≤0C．b1D．b≥0答案B答案解析指数函数y＝3x过定点(0,1)，函数y＝3x＋(b－1)过定点(0，b)，如图所示，若函数图像不过第二象限，则b≤0.解析4．如图，曲线C1，C2，C3，C4是指数函数y＝ax的图像，而a∈23，13，5，π，则图像C1，C2，C3，C4对应的函数的底数依次是______，________，________，________.答案2313π5答案解析由x＝1时y＝a可得指数函数图像变化的规律：在y轴右侧，图高底大．易知C2的底数＜C1的底数＜1＜C4的底数＜C3的底数．又13＜23＜5＜π，故C1，C2，C3，C4对应函数的底数依次是23，13，π，5.解析知识点三利用指数函数的单调性比较大小答案D答案解析解析6．已知a－5xax－7(a0，且a≠1)，求x的取值范围．解当a1时，∵a－5xax－7，∴－5xx－7，解得x76；当0a1时，∵a－5xax－7，∴－5xx－7，解得x76.综上所述，当a1时，x的取值范围是76，＋∞；当0a1时，x的取值范围是－∞，76.答案知识点四指数函数与其他函数的复合问题7.求下列函数的定义域和值域．(3)y＝1－12x；(4)y＝4x＋2x＋1＋1.解(1)x应满足x＋4≠0，∴x≠－4，∴定义域为{x|x≠－4，x∈R}．(2)定义域为R.∵|x＋1|≥0，∴y＝25－|x＋1|＝52|x＋1|≥520＝1，∴值域为{y|y≥1}．答案(3)x应满足1－12x≥0，∴12x≤1＝120，∴x≥0，∴定义域为{x|x≥0}．∵x≥0，∴12x≤1.又∵12x0，∴012x≤1.∴0≤1－12x1，∴0≤y1，∴值域为[0,1)．(4)定义域为R.令2x＝t(t0)，则y＝4x＋2x＋1＋1＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2.∵t0，∴t＋11，∴(t＋1)21，∴y1，∴值域为{y|y1}．答案8．讨论函数f(x)＝15x2－2x的单调性，并求其值域．解∵函数f(x)的定义域是(－∞，＋∞)，令t＝x2－2x，则f(t)＝15t，又∵t＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上是减函数，f(t)＝15t在其定义域内是减函数．∴函数f(x)在(－∞，1]上为增函数．答案∵函数f(t)＝15t在其定义域内为减函数，t＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)≤f(1)＝5，又∵15x2－2x0，∴f(x)的值域为(0,5]．答案9．已知函数f(x)＝13|x|－1.(1)作出函数f(x)的简图；(2)若关于x的方程f(x)＝3m有两个解，求m的取值范围．解(1)f(x)＝13x－1，x≥0，3x－1，x0，如图所示．(2)作出直线y＝3m，当－13m0时，即－13m0时，函数y＝f(x)与y＝3m有两个交点，即关于x的方程f(x)＝3m有两个解．答案10．已知函数f(x)＝3x－13x＋1.(1)证明f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)求f(x)的值域．解(1)证明：由题知f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＋1＝3－x－1·3x3－x＋1·3x＝1－3x1＋3x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)f(x)在定义域上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，答案(3)f(x)＝3x－13x＋1＝1－23x＋1，∵3x＞0⇒3x＋1＞1⇒0＜23x＋1＜2⇒－2＜－23x＋1＜0，∴－1＜1－23x＋1＜1，即f(x)的值域为(－1,1).答案易错点忽视中间变量的取值范围11.求函数y＝14x＋12x＋1的值域．易错分析用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．正解令t＝12x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝t＋122＋34.因为函数y＝t＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数，所以y0＋122＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞)．答案课时综合练一、选择题1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y3y2D．y1y2y3解析y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝12－1.5＝21.5，∵y＝2x在R上是增函数，1.81.51.44，∴y1y3y2.故选C.解析答案C答案2．函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A.－3，0B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]解析由题意，自变量x应满足1－2x≥0，x＋3＞0，解得x≤0，x＞－3，∴－3＜x≤0.解析答案A答案3．函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0答案D答案解析由图知f(x)在R上单调递减，故0a1，f(0)1，即a－b1，∴－b0，∴b0.故选D.解析4．函数y＝3x3x＋1的值域是()A.12，1B．(－∞，0)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析y＝3x3x＋1＝1－13x＋1，∵3x0，∴3x＋11.∴013x＋11.∴01－13x＋11.即原函数的值域为(0,1)．解析答案C答案5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a＞0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]答案B答案解析由f(1)＝a2＝19，于是a＝13，因此f(x)＝13|2x－4|.又g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知f(x)＝13|2x－4|的单调递减区间是[2，＋∞)．解析二、填空题6．已知函数f(x)＝a－12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝________.解析∵函数f(x)为奇函数，且x∈R，∴f(0)＝a－12＝0.∴a＝12.解析答案12答案解析解析答案a≥6答案8．若方程12x－1＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．解析作出y＝12x－1的图像，如图，要使直线y＝a与图像的交点只有一个，只需a≥1或a＝0.解析答案[1，＋∞)∪{0}答案三、解答题9．若ax＋11a5－3x＝a3x－5(a0，且a≠1)，求x的取值范围．解因为ax＋11a5－3x＝a3x－5，所以当a1时，可得x＋13x－5，所以x3.当0a1时，可得x＋13x－5，所以x3.综上，当a1时，x3；当0a1时，x3.答案(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调区间．解(1)设u＝x2－6x＋17，由于函数y＝12u，及u＝x2－6x＋17的定义域为(－∞，＋∞)，答案答案本课结束