2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数 3.1.1 函数及其表示方法（第1课时）函数的概

第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.自主探新知预习1．函数的概念定义给定两个A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的实数x，按照对应关系f，在集合B中都有确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量非空实数集每一个唯一函数对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值的范围(即数集A)三要素值域所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈__}A思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．两个函数相同一般地，如果两个函数的定义域，对应关系也(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．相同相同1．思考辨析(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．()(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．()(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数．()[提示](1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．(2)两函数的对应关系不同．(3)两函数的定义域不同．[答案](1)√(2)×(3)×2．函数y＝1x＋1的定义域是()A．[－1，＋∞)B．[－1,0)C．(－1，＋∞)D．(－1,0)C[由x＋10得x－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]3．若f(x)＝11－x2，则f(3)＝________.－18[f(3)＝11－9＝－18.]4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．xx＜22≤x≤3x＞3y－101{－1,0,1}[函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]合作提素养探究函数的概念【例1】(1)下列四组函数，表示同一函数的是()A．f(x)＝x2，g(x)＝xB．f(x)＝x，g(x)＝x2xC．f(x)＝3x3，g(x)＝xD．f(x)＝x2，g(x)＝(x)4(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝1x2；②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应法则如图所示．(1)C[选项A中，由于f(x)＝x2＝|x|，g(x)＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝x2x的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f(x)＝3x3＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝(x)4＝x2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．](2)[解]①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝1x2的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．(1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(3)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(4)A＝{三角形}，B＝{x|x0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．[解](1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．(3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．(4)集合A不是数集，故不是函数．求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝x＋1x2－1.倘若先化简，则f(x)＝1x－1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例2】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋3x－2；(2)f(x)＝(x－1)0＋2x＋1；(3)f(x)＝3－x·x－1；(4)f(x)＝x＋12x＋1－1－x.[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋3x－2有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当x－1≠0，2x＋1≥0，x＋1≠0，解得x－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x－1且x≠1}．(3)函数有意义，当且仅当3－x≥0，x－1≥0，解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足x＋1≠0，1－x≥0，解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．[解]由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.2．下列函数的定义域不是R的是()A．y＝x＋1B．y＝x2C．y＝1xD．y＝2xC[A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都是R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R.]3．已知函数f(x)＝12－x的定义域为M，g(x)＝x＋2的定义域为N，则M∩N＝()A．{x|x≥－2}B．{x|x＜2}C．{x|－2＜x＜2}D．{x|－2≤x＜2}D[由题意得M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x＜2}．]求函数值(值域)【例3】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝1x＋2.(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域．[思路点拨](1)直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；(2)所有函数值的集合即为值域．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝1x＋2，所以g(a)＋g(0)＝1a＋2＋10＋2＝1a＋2＋12(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝110＋2＝112.(2)当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．1．函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．求函数值域的常用方法(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．如：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的值域是R；②反比例函数f(x)＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}；③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域是yy≥f－b2a；当a＜0时，值域是yy≤f－b2a.(2)配方法，判别式法是求解二次函数型值域的常用方法．(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域．4．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)和f(f(－1))的值．[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.5．求函数y＝1－x2的值域．[解]因为1－x2≤1，所以函数y＝1－x2的值域为(－∞，1]．1．判断两个函数相同函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．2．对函数定义的再理解(1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝11－x＋x－3就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠∅且A⊆R.(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(3)函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.当堂固双基达标1．思考辨析(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(2)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(3)函数的定义域和值域一定是无限集合．()[答案](1)√(2)×(3)×2．下列函数中，与函数y＝x相等的是()A．y＝(x)2B．y＝x2C．y＝|x|D．y＝3x3D[函数y＝x的定义域为R；y＝(x)2的定义域为[0，＋∞)；y＝x2＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝3x3＝x，且定义域为R.故选D.]3．将函数y＝31－1－x的定义