2019-2020学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 单元质量测评课件 新人教A

第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a0，－1b0，则()A．－aab0B．－aab0C．aabab2D．abaab2答案B答案解析∵a0，－1b0，∴ab0，aab20，故A，C，D都不正确，正确答案为B.解析2．若a，b，c∈R，且ab，则下列不等式成立的是()A.1a1bB．a2b2C.ac2＋1bc2＋1D．a|c|b|c|解析根据不等式的性质，知C正确；若a0b，则1a1b，则A不正确；若a＝1，b＝－2，则B不正确；若c＝0，则D不正确．故选C.解析答案C答案3．不等式x2－3x＋20的解集是()A．{x|x－2或x－1}B．{x|x1或x2}C．{x|1x2}D．{x|－2x－1}解析方程x2－3x＋2＝0的两根为1和2，所以不等式x2－3x＋20的解集为{x|1x2}．故选C.解析答案C答案4．不等式x－1x≥2的解集为()A．{x|－1≤x0)B．{x|x≥－1}C．{x|x≤－1}D．{x|x≤－1或x0}解析原不等式变形为x－1x－2≥0，即x(1＋x)≤0，且x≠0，解得－1≤x0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x0}．解析答案A答案5．不等式1x－1x＋1的解集为()A．{x|x－3}B.x43x22C．{x|x1}D．{x|x2或－2x1}答案D答案解析原不等式可以变形为1－x2－1x－10，即x2－2x－10，故原不等式的解集为{x|x2或－2x1}．解析6．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2，x∈R}，P＝x5x＋1≥1，x∈Z，则M∩P等于()A．{x|－1x≤3，x∈Z}B．{x|0≤x≤3，x∈Z}C．{x|－1≤x≤0，x∈Z}D．{x|－1≤x0，x∈Z}答案A答案解析∵M＝{x|－1≤x≤3}，P＝{x|－1x≤4，x∈Z}，∴M∩P＝{x|－1x≤3，x∈Z}．解析7．若关于x的一元二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是()A．m≤－2或m≥2B．－2≤m≤2C．m－2或m2D．－2m2解析因为不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，所以Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.解析答案B答案8．若实数a，b满足a＋2b＝2，则3a＋9b的最小值是()A．18B．6C．23D．243解析3a＋9b＝3a＋32b≥23a＋2b＝232＝6，当且仅当3a＝32b，即a＝2b＝1时，等号成立．故选B.解析答案B答案9．已知x1，则x＋1x－1＋5的最小值为()A．－8B．8C．16D．－16解析∵x1，∴x－10，x＋1x－1＋5＝x－1＋1x－1＋6≥2＋6＝8，当且仅当x＝2时等号成立．故选B.解析答案B答案10．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a的取值范围应是()A．90a100B．90a110C．100a110D．80a100答案A答案解析设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.要使商家利润有所增加，则必须使y＞0，即x2－10x＜0，得0＜x＜10.∴售价a的取值范围为90a100.解析11．若不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－2x1}，则不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a0的解集为()A．{x|x－3或x3}B．{x|－3x1}C．{x|－1x3}D．{x|x－3或x1}答案D答案解析由已知得方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝1，且a0，∴ba＝1，ca＝－2.∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a0可化为x2＋1＋bax＋ca－10，即x2＋2x－30，解得x－3或x1.解析12．已知x0，y0,8x＋2y－xy＝0，则x＋y的最小值为()A．12B．14C．16D．18解析当x0，y0时，8x＋2y－xy＝0⇔2x＋8y＝1，∴x＋y＝(x＋y)2x＋8y＝10＋8xy＋2yx≥10＋2×4＝18，当且仅当2yx＝8xy，x＋y＝18，即x＝6，y＝12时，x＋y取得最小值18.故选D.解析答案D答案第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)答案{x|x－10或x1}答案解析ax2＋bx＋c0的解集是x15x14，所以方程ax2＋bx＋c＝0的解是15和14，且a0，由根与系数的关系可得：－ba＝920，ca＝120，解得b＝－920a，c＝120a，所以不等式2cx2－2bx－a0变形为110ax2＋910ax－a0，即x2＋9x－100，其解集是{x|x－10或x1}．解析14．当x1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的最大值为________．解析x＋1x－1≥a恒成立⇔x＋1x－1min≥a.∵x1，∴x－10，∴x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2x－1·1x－1＋1＝3(当x＝2时取等号)．∴a≤3，即a的最大值为3.解析答案3答案15．设点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，则mn的最大值是________．解析∵点(m，n)在一次函数y＝－x＋1位于第一象限内的图象上运动，∴m＋n＝1且m0，n0.∴mn≤m＋n22＝14，当且仅当m＝n＝12时等号成立．解析答案14答案16．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝20tt2＋4，则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大．答案2答案解析C＝20tt2＋4＝20t＋4t.因为t0，所以t＋4t≥2t·4t＝4当且仅当t＝4t，即t＝2时，等号成立.所以C＝20t＋4t≤204＝5，即当t＝2时，C取得最大值．解析三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a0，试比较a与1a的大小．解a－1a＝a2－1a＝a－1a＋1a.因为a0，所以当a1时，a－1a＋1a0，有a1a；当a＝1时，a－1a＋1a＝0，有a＝1a；当0a1时，a－1a＋1a0，有a1a.综上，当a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当0a1时，a1a.答案18．(本小题满分12分)已知a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，求证：a＋b＋c1a＋1b＋1c.证明证法一：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ca＋1ab1b＋1c2＋1c＋1a2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.故原不等式成立．答案证法二：∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，∴1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab＝bc＋ca2＋ca＋ab2＋ab＋bc2abc2＋a2bc＋ab2c＝a＋b＋c.故原不等式成立．答案19．(本小题满分12分)已知不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，(1)求a；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0.解(1)因为不等式ax2－3x＋64的解集为{x|x1或xb}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，由根与系数的关系，得1＋b＝3a，1×b＝2a，解得a＝1，b＝2.(2)由(1)，知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0为x2－(2＋c)x＋2c0，即(x－2)(x－c)0.①当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|2xc}；答案②当c2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为{x|cx2}；③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)0的解集为∅.所以当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|2xc}；当c2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为{x|cx2}；当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc0的解集为∅.答案20．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(m2＋4m－5)x2－4(m－1)x＋30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．解①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－5不符合条件；②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数对一切实数x恒为正数，得m2＋4m－50，Δ＝16m－12－12m2＋4m－50，解得1m19.综合①②得，实数m的取值范围为1≤m19.答案21．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求a＋1a2＋b＋1b2的最小值．解a＋1a2＋b＋1b2＝a2＋b2＋1a2＋1b2＋4＝(a2＋b2)1＋1a2b2＋4＝[(a＋b)2－2ab]1＋1a2b2＋4＝(1－2ab)·1＋1a2b2＋4，答案由a＋b＝1，得ab≤a＋b22＝14当且仅当a＝b＝12时等号成立，所以1－2ab≥1－12＝12，且1a2b2≥16，所以a＋1a2＋b＋1b2≥12×(1＋16)＋4＝252，所以a＋1a2＋b＋1b2的最小值为252.答案22．(本小题满分12分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mm＋a；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为an＋a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为h1h2.现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A，B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．(1)求h甲和h乙关于mA，mB的表达式；当mA＝35mB时，求证：h甲＝h乙；(2)设mA＝35mB，当mA，mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．解设mA＝x，mB＝y.(1)证明：甲买进产品A的满意度：h1甲＝12x＋12；甲卖出产品B的满意度：h2甲＝yy＋5；甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：h甲＝12x＋12·yy＋5；同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：答案h乙＝xx＋3·20y＋20.当x＝35y时，h甲＝12x＋12·yy＋5＝1235y＋12·yy＋5＝20yy＋20y＋5，h乙＝xx＋3·20y＋20＝35y35y＋3·20y＋20＝20yy＋20y＋5，故h甲＝h乙．答案(2)当x＝35y时，由(1)知h甲＝h乙＝20yy＋20y＋5，因为20yy＋20y＋5＝20y＋100y＋25≤49，当且仅当y＝10时，等号成立．当y＝10时，x＝6.因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23.答案(3)由(2)知h0＝23.因为h甲h