2019-2020学年新教材高中数学 第2章 等式与不等式 2.2.4 均值不等式及其应用（第2课时

第二章等式与不等式2.2不等式2.2.4均值不等式及其应用第2课时均值不等式的应用学习目标核心素养1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.自主探新知预习已知x，y都是正数．(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．小大1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝1a＋4b的最小值是()A.72B．4C.92D．5C[∵a＋b＝2，∴a＋b2＝1.∴1a＋4b＝1a＋4ba＋b2＝52＋2ab＋b2a≥52＋22ab·b2a＝92当且仅当2ab＝b2a，即b＝2a时，等号成立.故y＝1a＋4b的最小值为92.]2．若x0，则x＋2x的最小值是________．22[x＋2x≥2x·2x＝22，当且仅当x＝2时，等号成立．]3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．100[∵x，y∈N*，∴20＝x＋y≥2xy，∴xy≤100.]合作提素养探究利用均值不等式求最值【例1】(1)已知x54，求y＝4x－2＋14x－5的最大值；(2)已知0x12，求y＝12x(1－2x)的最大值．[思路点拨](1)看到求y＝4x－2＋14x－5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.(2)∵0x12，∴1－2x0，∴y＝14×2x(1－2x)≤14×2x＋1－2x22＝14×14＝116.∴当且仅当2x＝1－2x0x12，即x＝14时，ymax＝116.利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.1．(1)已知x0，求函数y＝x2＋5x＋4x的最小值；(2)已知0x13，求函数y＝x(1－3x)的最大值．[解](1)∵y＝x2＋5x＋4x＝x＋4x＋5≥24＋5＝9，当且仅当x＝4x，即x＝2时等号成立．故y＝x2＋5x＋4x(x0)的最小值为9.(2)法一：∵0x13，∴1－3x0.∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x)≤133x＋1－3x22＝112.当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.法二：∵0x13，∴13－x0.∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋13－x22＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.利用均值不等式求条件最值【例2】已知x＞0，y＞0，且满足8x＋1y＝1.求x＋2y的最小值．[解]∵x＞0，y＞0，8x＋1y＝1，∴x＋2y＝8x＋1y(x＋2y)＝10＋xy＋16yx≥10＋2xy·16yx＝18，当且仅当8x＋1y＝1，xy＝16yx，即x＝12，y＝3时，等号成立，故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.若把“8x＋1y＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求8x＋1y的最小值．[解]∵x，y∈R＋，∴8x＋1y＝(x＋2y)8x＋1y＝8＋16yx＋xy＋2＝10＋16yx＋xy≥10＋216＝18.当且仅当16yx＝xy时取等号，结合x＋2y＝1，得x＝23，y＝16，∴当x＝23，y＝16时，8x＋1y取到最小值18.1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋bx型和y＝ax(b－ax)型．2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．[解]法一：1a＋1b＝1a＋1b·1＝1a＋1b·(a＋2b)＝1＋2ba＋ab＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22ba·ab＝3＋22，当且仅当2ba＝ab，a＋2b＝1，即a＝2－1，b＝1－22时等号成立．∴1a＋1b的最小值为3＋22.法二：1a＋1b＝a＋2ba＋a＋2bb＝1＋2ba＋ab＋2＝3＋2ba＋ab≥3＋22，当且仅当2ba＝ab，a＋2b＝1，即a＝2－1，b＝1－22时等号成立，∴1a＋1b的最小值为3＋22.利用均值不等式解决实际问题【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，所以26xy≤18，得xy≤272，即Smax＝272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－32y.∵x0，∴0y6，S＝xy＝y9－32y＝32y(6－y)．∵0y6，∴6－y0.∴S≤326－y＋y22＝272.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使每间虎笼面积最大．在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积[解]设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x＝10800x.∴每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10800x＝560＋48x＋225x.当x＋225x取最小值时，y有最小值．∵x0，∴x＋225x≥2x·225x＝30.当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.当堂固双基达标1．思考辨析(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．()(2)若a0，b0且a＋b＝4，则ab≤4.()(3)当x1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()[提示](1)由a＋b≥2ab可知正确．(2)由ab≤a＋b22＝4可知正确．(3)xx－1不是常数，故错误．[答案](1)√(2)√(3)×2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为()A．1B．22C．2D．4A[由均值不等式得，ab≤a＋b22＝1.]3．已知0x1，则x(3－3x)取最大值时x的值为()A.12B.34C.23D.25A[∵0x1，∴1－x0，则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×x＋1－x22＝34，当且仅当x＝1－x，即x＝12时取等号．]4．已知x0，求y＝2xx2＋1的最大值．[解]y＝2xx2＋1＝2x＋1x.∵x0，∴x＋1x≥2x·1x＝2，∴y≤22＝1，当且仅当x＝1x，即x＝1时等号成立．