第二章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第1课时不等关系与不等式学习目标核心素养1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.(难点)2.会用比较法比较两实数的大小.(重点)1.借助实际问题表示不等式,提升数学建模素养.2.通过大小比较,培养逻辑推理素养.自主探新知预习1.不等关系不等关系常用________来表示.2.实数a,b的大小比较文字语言数学语言等价条件a-b是正数a-b>0a>ba-b等于零a-b=0a=ba-b是负数a-b<0a<b不等式3.重要不等式一般地,∀a,b∈R,有(a-b)2≥0,当且仅当_______时,等号成立.a=b1.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使车货总重量T不超过40吨,用不等式表示为()A.T40B.T40C.T≤40D.T≥40C[限重就是不超过,可以直接建立不等式T≤40.]2.某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h,同一车道上的车间距d不得小于10m,用不等式表示为()A.v≤120km/h且d≥10mB.v≤120km/h或d≥10mC.v≤120km/hD.d≥10mA[v的最大值为120km/h,即v≤120km/h,车间距d不得小于10m,即d≥10m,故选A.]3.雷电的温度大约是28000℃,比太阳表面温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t℃,那么t应满足的关系式是________.4.5t28000[由题意得,太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度,即4.5t28000.]4.设M=a2,N=-a-1,则M,N的大小关系为________.M>N[M-N=a2+a+1=a+122+34>0,∴M>N.]合作提素养探究用不等式(组)表示不等关系【例1】京沪线上,复兴号列车跑出了350km/h的速度,这个速度的2倍再加上100km/h,不超过民航飞机的最低时速,可这个速度已经超过了普通客车的3倍,请你用不等式表示三种交通工具的速度关系.[解]设复兴号列车速度为v1,民航飞机速度为v2,普通客车速度为v3.v1,v2的关系:2v1+100≤v2,v1,v3的关系:v1>3v3.在用不等式组表示不等关系时,要进行比较的各量必须具有相同性质,没有可比性的两个或几个量之间不可用不等式组来表示.另外,在用不等式组表示实际问题时,一定要注意单位的统一.1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于216m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式(组)表示其中的不等关系.[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0x≤18,这时菜园的另一条边长为30-x2=15-x2(m).因此菜园面积S=x·15-x2,依题意有S≥216,即x15-x2≥216,故该题中的不等关系可用不等式组表示为0x≤18,x15-x2≥216.比较两数(式)的大小【例2】已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.[解]3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵x≤1,∴x-1≤0,而3x2+1>0,∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1.把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小.[解]3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵3x2+1>0,当x>1时,x-1>0,∴3x3>3x2-x+1;当x=1时,x-1=0,∴3x3=3x2-x+1;当x<1时,x-1<0,∴3x3<3x2-x+1.作差法比较两个实数大小的基本步骤2.比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.[解](2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=x+122+34.∵x+122≥0,∴x+122+34≥34>0.∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0,∴2x2+5x+3>x2+4x+2.不等关系的实际应用【例3】某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠”.乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠”.这两车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠.[解]设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,则y1=x+34x·(n-1)=14x+34xn,y2=45nx.因为y1-y2=14x+34xn-45nx=14x-120nx=14x1-n5,当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;当n<5时,y1>y2.因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.解决决策优化型应用题,首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个,然后再用作差法比较它们的大小即可.3.甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案.甲旅行社提出:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社提出:家庭旅游算集体票,按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,那么哪家旅行社价格更优惠?[解]设该家庭除户主外,还有x人参加旅游,甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙,一张全票价为a元,则y甲=a+0.55ax,y乙=0.75(x+1)a.y甲-y乙=(a+0.55ax)-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x),当x>1.25(x∈N)时,y甲<y乙;当x<1.25,即x=1时,y甲>y乙.因此两口之家,乙旅行社较优惠,三口之家或多于三口的家庭,甲旅行社较优惠.1.比较两个实数的大小,只要求出它们的差就可以了.a-b0⇔ab;a-b=0⇔a=b;a-b0⇔ab.2.作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.当堂固双基达标1.思考辨析(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若ab或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.()(3)若ab,则acbc一定成立.()[提示](1)正确.不等式x≥2表示x2或x=2,即x不小于2,故此说法是正确的.(2)正确.不等式a≤b表示ab或a=b.故若ab或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确.(3)错误.ac-bc=(a-b)c,这与c的符号有关.[答案](1)√(2)√(3)×2.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是()A.a-b>0B.a-b<0C.a-b≥0D.a-b≤0[答案]C3.若实数ab,则a2-ab________ba-b2.(填“”或“”).[因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又ab,所以(a-b)20.]4.完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,试用不等式表示上述关系.[解]由题意知,500x+400y≤20000,即5x+4y≤200.