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第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件第1课时充分条件与必要条件学习目标核心素养1.理解充分条件、必要条件的定义．(难点)2．会判断充分条件、必要条件．(重点)3．会根据充分不必要条件、必要不充分条件求字母的取值范围．(重点、难点)1.通过充分条件、必要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分条件、必要条件的应用，培养数学运算素养.自主探新知预习1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p___qp___q条件关系p是q的______条件q是p的______条件p不是q的_____条件q不是p的______条件⇒充分必要充分必要思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？提示：(1)相同，都是p⇒q.(2)等价．2．充分条件与必要条件的判断3.充分条件、必要条件与集合的关系A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}A⊆Bp是q的充分条件q是p的必要条件p是q的不充分条件q是p的不必要条件B⊆Aq是p的充分条件p是q的必要条件q是p的不充分条件p是q的不必要条件思考2：“x2”是“x3”的________条件，“x3”是“x2”的________条件．提示：充分必要1．下列命题中q是p的必要条件的是()A．p：A∩B＝A，q：A⊆BB．p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1C．p：|x|1，q：x0D．p：x22，q：x2A[由A∩B＝A能得出A⊆B，其余选项都不符合要求．]2．“x＝1”是“x2－1＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是“x2－1＝0”的充分不必要条件．]3．“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的________条件．(填“充分”或“必要”)必要[若△ABC三边关系满足a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形，故“△ABC为直角三角形”是“其三边关系a2＋b2＝c2”的必要条件．]4．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件．(用“充分”“必要”填空)必要充分[由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．]合作提素养探究充分条件、必要条件的判断【例1】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；(2)若函数y＝x，则函数为递增的；(3)若x为无理数，则x2为无理数；(4)若x＝y，则x2＝y2；(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；(6)若ab，则acbc.[解](1)因为命题“若x＝1，则x2－4x＋3＝0”是真命题，而命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝1”是假命题，所以p是q的充分条件，但不是必要条件，即p是q的充分不必要条件．(2)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵pq，而q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．(5)∵p⇒q，而qp，∴p是q的充分不必要条件．(6)∵pq，而qp，∴p是q的既不充分也不必要条件．本例六个小题分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p.1．指出下列命题中p是q的什么条件？(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：sinαsinβ，q：αβ.[解](1)∵x2＝2x＋1D/⇒x＝2x＋1，x＝2x＋1⇒x2＝2x＋1，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，a＋b＝0D/⇒a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝x－1成立，反过来，当x－1＝x－1成立时，可以推出x＝1或x＝2，∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．(4)由sinαsinβ不能推出αβ，反过来由αβ也不能推出sinαsinβ，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．充分条件、必要条件与集合的关系【例2】若“x21”是“xa”的必要不充分条件，求a的最大值．[解]∵x21，∴x－1或x1.又∵“x21”是“xa”的必要不充分条件，∴xa⇒x21但x21D⇒/xa.如图所示：∴a≤－1，∴a的最大值为－1.例2中“xa”改为“xa”，其他条件不变，求a的最小值．[解]∵x21，∴x－1或x1，∵“x21”是“xa”的必要不充分条件，∴xa⇒x21，但x21D/⇒xa.如图所示：∴a≥1，∴a的最小值为1.设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集.充分条件和必要条件的应用【例3】(1)“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是()A．0B．2C．4D．16(2)已知p：－4x－a4，q：(x－2)(x－3)0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．(1)B(2)[－1,6][(1)由“x＝2”能得出“x2＝4”，所以选项B正确．(2)化简p：a－4xa＋4，q：2x3，由于q是p的充分条件，故有a－4≤2，a＋4≥3，解得－1≤a≤6.]应用充分条件和必要条件的两个思路1条件与结论：确定p和q谁是条件，谁是结论.2p⇒q和q⇒p的应用：充分条件确保p⇒q为真，必要条件确保q⇒p为真.2．已知p：3x＋m0，q：x2－2x－30，若p是q的一个充分不必要条件，求m的取值范围．[解]由3x＋m0得，x－m3.∴p：A＝xx＜－m3.由x2－2x－30得，x－1或x3.∴q：B＝{x|x－1或x3}．∵p⇒q而qp，∴A是B的真子集，∴－m3≤－1，∴m≥3，即m的取值范围是[3，＋∞)．1．充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p既是q的充分条件，也是q的必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．当堂固双基达标1．“同位角相等”是“两直线平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C2．使x3成立的一个充分条件是()A．x4B．x0C．x2D．x2A[只有x4⇒x3，其他选项均不可推出x3.]3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A[因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4,x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．]4．有下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中可以成为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．②③④[由x2＜1，得－1＜x＜1.故②③④都可作为x2＜1的充分条件．]