2019-2020学年新教材高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法（第2

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.1集合及其表示方法第2课时集合的表示方法学习目标核心素养1.掌握集合的两种表示方法．(重点)2．掌握区间的概念及表示方法．(重点)1.借助空集，区间的概念，培养数学抽象的素养．2．通过学习集合的两种表示方法，培养数学运算的素养.自主探新知预习1．集合的表示方法(1)列举法：把集合中的元素_________出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法叫做列举法．一一列举思考1：观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为：造纸术、印刷术、指南针、火药；(2)中的元素为：1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示．(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质．此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为__________．这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法．{x|p(x)}思考2：观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图像上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法．2．区间的概念设a，b是两个实数，且a＜b：(1)集合{x|a≤x≤b}可简写为，并称为闭区间；(2)集合{x|a＜x＜b}可简写为，并称为开区间；(3)集合{x|a≤x＜b}可简写为，集合{x|a＜x≤b}可简写为________，并都称为半开半闭区间；(a，b][a，b](a，b)[a，b)(4)用“＋∞”表示，用“－∞”表示，实数集R可以用区间表示为；(5)满足不等式x≥a，x＞a和x≤b，x＜b的实数x的集合用区间分别表示为_________________________________________．[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)正无穷大负无穷大(－∞，＋∞)1．下列判断错误的是()A．方程x2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示B．不大于2020的自然数构成的集合是无限集C．集合A＝x1x＝0是空集D．{x︱x2＝0}＝{0}B[A.正确；方程x2＝9的解集可以用列举法表示，也可以用描述法表示，即A＝{x|x2＝9}＝{－3,3}．B．错误；因为不大于2020的自然数依次为0,1,2，…，2020，共有2021个，所以构成的集合是有限集．C．正确；因为0的倒数不存在，任何非零实数的倒数都不是0，所以集合A＝x1x＝0是空集．D．正确，x2＝0，可得x＝0，故选B.]2．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为()A．{x＝1，x＝2}B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0}D．{1,2}D[解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．]3．用区间表示下列数集．(1){x|x≥2}＝________；(2){x|3＜x≤4}＝________.[答案][2，＋∞)(2)(3,4]4．用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)偶数可用式子x＝2n(n∈Z)表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}.合作提素养探究用列举法表示集合【例1】(1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1B．2C．3D．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合；②方程x2＝x的所有实数解组成的集合；③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；④方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解．(1)B[集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．选B.](2)[解]①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组x＋y＝1，x－y＝－1，得x＝0，y＝1.∴用列举法表示方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合的步骤1求出集合的元素；2把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；3用大括号括起来.1．已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.[解]对任意a∈A，有|a|∈B，因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}．用描述法表示集合【例2】试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－2＝0的所有实数根组成的集合；(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．[解](1)设方程x2－2＝0的实数根为x，并且满足条件x2－2＝0，因此，用描述法表示为A＝{x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0有两个实数根2，－2，因此，用列举法表示为A＝{2，－2}．(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10x20.因此，用描述法表示为B＝{x∈Z|10x20}．大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为B＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19}．集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合.2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函数y＝x2－10图像上的所有点组成的集合．[解](1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3.所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函数y＝x2－10图像上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．集合的表示法的应用角度一方程、不等式问题【例3】若集合A＝{x|ax2＋ax－1＝0}只有一个元素，则a＝()A.－4B.0C.4D.0或－4A[依题意，得关于x的方程ax2＋ax－1＝0只有一个实根，所以a≠0，Δ＝0，即a≠0，a2＋4a＝0，解得a＝－4，选A.]在集合的表示方法中，经常利用核心素养中的逻辑推理，通过对元素个数与特性的验证分析，探索参数的取值范围.3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0，x∈R}不含有任何元素，则实数a的取值范围是________．[0,4)[当a＝0时，原方程可化为1＝0，显然方程无解，当a≠0时，一元二次方程ax2＋ax＋1＝0无实数解，则需Δ＝a2－4a＜0，即a(a－4)＜0，依题意，得a0，a－40，或a0，a－40，解得0a4，综上，得0≤a4.]角度二对参数分类讨论问题【例4】已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若A中有且只有一个元素，求a的取值集合．(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．[解](1)由题意知，A中有且只有一个元素，即对应方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一根或有两个相等的实根．当a＝0时，对应方程为一次方程，此时A＝－12，符合题意；当a≠0时，对应方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝4－4a＝0，a＝1，符合题意．综上所述，a的取值集合为{0,1}．(2)由题意知，A中至多有一个元素，即对应方程ax2＋2x＋1＝0无根或只有一根，由(1)知，当a＝0或1时，A中有且只有一个元素，符合题意；当Δ＝4－4a＜0，即a＞1时，对应方程ax2＋2x＋1＝0无实根，即A中无元素，符合题意．综上所述，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}．识别集合含义的两个步骤1一看代表元素：例如{x|px}表示数集，{x，y|y＝px}表示点集.2二看条件：即看代表元素满足什么条件公共特性.提醒：一般地，集合{x|fx＝0}表示方程fx＝0的解集；,{x|fx＞0}表示不等式fx＞0的解集；,{x|y＝fx}表示y＝fx中x的取值的集合；,{y|y＝fx}表示y＝fx中y的取值的集合.4．若A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}＝∅，求a的取值范围．[解]因为A＝∅，则集合A无元素，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0无实数解，所以a≠0，且Δ＜0，即a≠0，4－4a＜0，解得a＞1，所以a的取值范围为{a|a＞1}．1．∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合．2．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．3．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)(元素具有怎样的属性)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．关于无穷大的两点说明(1)∞是一个符号，而不是一个数；(2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号．当堂固双基达标1．下列说法正确的是()A．0∈∅B．∅＝{0}C．∅中元素的个数为0D．∅没有子集C[空集是不含任何元素的集合，故∅中元素的个数为0.]2．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9C[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是满足关系式y＝2x－1的点组成的集合，故选D.]4．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2x≤4}＝________；(3){x|x－1且x≠2}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4](3)(－1,2)∪(2，＋∞)