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章末复习知识系统整合规律方法收藏1．由集合的混合运算结果求变量在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性．2．集合与方程的综合集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．3．与集合有关的新定义问题(1)定义新集合要与集合定义类比解决．(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．4．充分条件与必要条件的理解及判定(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：①确定条件是什么，结论是什么；②把复杂的条件(结论)化简；③尝试从条件推结论，从结论推条件；④确定是什么条件．(2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条件的必要性．5．全称量词命题与存在量词命题(1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可．(4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题．学科思想培优一、分类讨论思想解分类讨论问题的实质是将“整体”化为“部分”来解决，化为“部分”后，增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．本章的分类讨论思想主要体现在空集的特殊性上．[典例1]若集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|n＋1≤x≤2n－3，n∈R}，且B⊆A，求n的取值范围．解当B＝∅时，n＋1＞2n－3，解得n＜4.此时B⊆A.当B≠∅时，要使B⊆A，必须满足n＋1≥－1，2n－3≤7，n＋1≤2n－3，解得4≤n≤5.综上所述，n的取值范围为{n|n≤5}．答案二、数形结合思想在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有限数集，一般采用Venn图来求解．1．运用数轴[典例2]已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a∈R，a＜1}，B⊆A，求实数a的取值范围．解∵a＜1，∴2a＜a＋1，∴B≠∅.在数轴上表示集合A，B，如图：由B⊆A知，a＋1＜－1或2a≥1，即a＜－2或a≥12.又a＜1，∴实数a的取值范围是aa＜－2或12≤a＜1.2．运用Venn图[典例3]已知全集I＝{x|0＜x＜10，x∈N＋}，A∩B＝{3}，A∩(∁IB)＝{1,5,7}，(∁IA)∩(∁IB)＝{9}，求集合A和B.解由全集I＝{x|0＜x＜10，x∈N＋}，得I＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．用Venn图表示A∩B＝{3}，A∩(∁IB)＝{1,5,7}，(∁IA)∩(∁IB)＝{9}，如图，得集合A＝{1,3,5,7}，集合B＝{2,3,4,6,8}．答案三、定义法[典例4]已知p：－2＜m＜0,0＜n＜1，q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p是q的什么条件．解若关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ＝m2－4n0，即m24n.设方程的两根为x1，x2，则0x11,0x21，且x1≠x2，有0x1＋x22，且0x1x21.根据根与系数的关系，有x1＋x2＝－m，x1x2＝n.答案解得0＜－m＜2，0＜n＜1.所以－2m0,0n1，且m24n，即有q⇒p.反之，取m＝－13，n＝12，那么方程变为x2－13x＋12＝0，Δ＝19－4×120.此时方程x2＋mx＋n＝0无实根，所以p⇒/q.综上所述，p是q的必要不充分条件．答案四、反证法利用量词命题与量词命题的否定的真假性相反的性质，达到证明的目的．[典例5]设三个正实数a，b，c满足条件1a＋1b＋1c＝2，求证：a，b，c中至少有两个数不小于1.证明假设a，b，c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：①a，b，c三数均小于1，即0a1,0b1,0c1，则1a1，1b1，1c1.所以1a＋1b＋1c3，与已知条件矛盾；答案②a，b，c中有两个数小于1，不妨设0a1,0b1，而c≥1，则1a1，1b1.所以1a＋1b＋1c2＋1c2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．所以a，b，c中至少有两个数不小于1.答案本课结束