搜索
1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定(教师独具内容)课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．核心概念掌握【知识导学】知识点一全称量词命题的否定(1)全称量词命题的否定是命题．(2)对于全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定为知识点二存在量词命题的否定(1)存在量词命题的否定是命题．(2)对于存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定为□01存在量词□02∃x∈M，綈p(x)．□01全称量词□02∀x∈M，綈p(x)．【新知拓展】1．对全称量词命题的否定及其特点的理解(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键．(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．2．对存在量词命题的否定及其特点的理解存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提供的结论是对存在量词命题否定的关键．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)全称量词命题的否定只是对命题结论的否定．()(2)“∃x∈M，使x具有性质p(x)”与“∀x∈M，x不具有性质p(x)”的真假性相反．()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．()(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”．()×√××2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“至多有一个”的否定为____________________________________．(2)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2，则它的否定是__________________．(3)命题“∃x∈Q，x2＝5”的否定是________命题(填“真”或“假”)．答案(1)至少有两个(2)∃x∈R，x＋1x2(3)真答案核心素养形成题型一全称量词命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)等圆的面积相等；(3)每个三角形至少有两个锐角．[解](1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m0，即m－14时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．答案(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”．由等圆的概念知原命题的否定是假命题．(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．答案金版点睛1．对全称量词命题否定的两个步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2．全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．[跟踪训练1]写出下列全称量词命题的否定，并判断真假．(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)∀x∈R，|x|≥x；(3)∀x∈N＋，x为正数．解(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题．(2)原命题的否定为“∃x∈R，|x|x”，这个命题是假命题．(3)原命题的否定为“∃x∈N＋，x≤0”，这个命题是假命题．答案题型二存在量词命题的否定例2写出下列命题的否定，并判断真假．(1)有一个奇数不能被3整除；(2)有些三角形的三个内角都是60°；(3)∃x∈R，|x＋1|≤1.[解](1)题中命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．(2)题中命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，|x＋1|1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|1.答案金版点睛1．对存在量词命题否定的两个步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．2．存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．[跟踪训练2]写出下列存在量词命题的否定，并判断真假．(1)有的素数是偶数；(2)∃x∈R，x2＋x＋14≠0；(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解(1)题中命题的否定为“所有的素数都不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．(2)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋14＝0”．这个命题是假命题，因为当x＝1时，x2＋x＋14＝2＋14＝94≠0.(3)题中命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.答案随堂水平达标1．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数，不能被5整除答案C答案解析全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以D错误，C正确，故选C.解析2．命题“∃x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是()A．∀x∈R，x2－2x－3≤0B．∃x∈R，x2－2x－3≥0C．∃x∈R，x2－2x－30D．∀x∈R，x2－2x－30解析存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“”．故选D.解析答案D答案3．对下列命题的否定，其中说法错误的是()A．p：∀x≥3，x2－2x－3≥0；p的否定：∃x≥3，x2－2x－30B．p：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p的否定：每一个四边形的四个顶点都共圆C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；p的否定：∀x∈R，x2＋2x＋20解析若p：有的三角形为正三角形，则p的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．解析答案C答案4．若命题“∀x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，则实数a的取值范围为________．解析依题意可得“∃x∈R，x2＋x＋a－1＝0”为真命题，所以Δ＝12－4(a－1)≥0，所以a≤54.解析答案a≤54答案5．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)菱形是平行四边形；(2)∀x≥0，x20；(3)存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)∃x∈R，x2＋x＋1≤0.解(1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题．(2)题中命题的否定为“∃x≥0，x2≤0”，这个命题为真命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋10”，这个命题为真命题．因为x2＋x＋1＝x2＋x＋14＋34＝x＋122＋340.答案本课结束