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课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x0，x3＋x0B．∀x0，x3＋x≥0C．∃x≥0，x3＋x0D．∃x≥0，x3＋x≥0解析由全称量词命题的否定是存在量词命题可知A，B错误；因为对x3＋x≥0的否定为x3＋x0，所以D错误，C正确．解析答案C答案2．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形都是等腰三角形解析存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.解析答案C答案3．命题“∃n∈N，n2＞2n”的否定是()A．∀n∈N，n2＞2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，注意否定结论，所以∀n∈N，n2≤2n，故选C.解析答案C答案4．命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是()A．∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根解析存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.解析答案C答案5．已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋a≠0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A．a≤14B．a14C．a－14或a0D．a≤－14或a≥0解析∵p是假命题，∴命题p的否定，即∃x∈R，x2＋x＋a＝0是真命题．∴Δ＝1－4a≥0，∴a≤14.解析答案A答案二、填空题6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋20，则命题p的否定为________．解析命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.解析答案∀x∈R，x2＋3x＋2≥0答案7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．解析该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．解析答案任意一个三角形都有外接圆答案8．若命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析因为命题“∀x∈R,2x2＋3x＋a≠0”是假命题，所以其否定“∃x∈R,2x2＋3x＋a＝0”是真命题，所以Δ＝32－4×2×a≥0，解得a≤98.故实数a的取值范围是a≤98.解析答案a≤98答案三、解答题9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1，x2，若x1x2，则x21＋1x22＋1；(4)∃x1，x2－2x－3＝0.解(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如当a＝0，b＝1时，方程ax＝b无实数根，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．答案(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1x2，则x21＋1≥x22＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x21＋1＝x22＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(4)这个命题的否定为“∀x1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．答案10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．解题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．所以a＝0或a≠0，4－4a≥0，即a＝0或a≤1且a≠0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是a≤1.答案B级：“四能”提升训练1．a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1，证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．证明要证明结论的否定：两个方程都没有两个不相等的实数根，则有：Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0.所以Δ1＋Δ2＝1－4b＋a2－4c≤0.因为a＝b＋c＋1，所以b＋c＝a－1.所以1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0.但是a2－4a＋5＝(a－2)2＋10，故矛盾．所以要证明结论的否定是假命题，要证明的结论为真命题，即两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数根．答案2．已知命题p：∀x∈R,2x≠－x2＋m，命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0，若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．解因为命题p为假命题，所以命题p的否定为真命题，即命题“∃x∈R,2x＝－x2＋m”为真命题．则－x2－2x＋m＝0有实根．所以Δ＝4＋4m≥0，所以m≥－1.若命题q：∃x∈R，x2＋2x－m－1＝0为真命题，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，所以m≥－2.所以m≥－1且m≥－2，所以m的取值范围为m≥－1.答案本课结束