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课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．已知集合S＝{a，b，c}中的三个元素是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析因为集合S＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，由集合元素的互异性可知a，b，c互不相等，所以△ABC一定不是等腰三角形，故选D.解析答案D答案2．下列集合的表示方法正确的是()A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1＜4的解集为{x＜5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R解析A项中应是xy0；B项中的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x，应为{x|x5}；C项中的“{}”与“全体”意思重复．故选D.解析答案D答案3．下列集合恰有两个元素的是()A．{x2－x＝0}B．{x|y＝x2－x}C．{y|y2－y＝0}D．{y|y＝x2－x}解析A项为一个方程集，只有一个元素；B项为方程y＝x2－x的定义域，有无数个元素；C项为方程y2－y＝0的解，有0,1两个元素；D项为函数y＝x2－x的值域，有无数个元素．故选C.解析答案C答案4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9答案C答案解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，可由上表知B＝{0，－1，－2，1,2}，因此集合B中共含有5个元素，故选C.解析5．若2∉{x|x－a＞0}，则实数a的取值范围是()A．a≠2B．a＞2C．a≥2D．a＝2解析因为2∉{x|x－a0}，所以2不满足不等式x－a0，即满足不等式x－a≤0，所以2－a≤0，即a≥2，故选C.解析答案C答案二、填空题6．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，则用列举法表示B＝________.解析由题意，A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，依次计算出B中元素，用列举法表示可得B＝{4,9,16}，故答案为{4,9,16}．解析答案{4,9,16}答案7．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．解析当a＝0时，A＝xx＝－43；当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－916.故所求的a的取值范围是a＝0或a≤－916.解析答案a＝0或a≤－916答案8．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析根据“孤立元”的定义，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共有6个．故答案为6.解析答案6答案三、解答题9．用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y＝2x－3图象上所有点的集合；(4)方程组x＋y＝1，x－y＝－1的解集．解(1){－2,0,2}．(2){m|m＝3n＋1，n∈N}．(3){(x，y)|y＝2x－3}．(4){(0,1)}．答案10．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．解①若a＋3＝1，则a＝－2，此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意；当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，此时A＝{2,0,1}，满足题意．综上所述，实数a的值为－1或0.答案B级：“四能”提升训练1．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．答案(2)不一定．证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.答案2．设实数集S是满足下面两个条件的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.(1)求证：若a∈S，则1－1a∈S；(2)若2∈S，则S中必含有其他的两个数，试求出这两个数；(3)求证：集合S中至少有三个不同的元素．解(1)证明：∵1∉S，∴0∉S，即a≠0.由a∈S，则11－a∈S可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.故若a∈S，则1－1a∈S.答案(2)由2∈S，知11－2＝－1∈S；由－1∈S，知11－－1＝12∈S，当12∈S时，11－12＝2∈S，因此当2∈S时，S中必含有－1和12.答案(3)证明：由(1)，知a∈S，11－a∈S,1－1a∈S.下证：a，11－a，1－1a三者两两互不相等．①若a＝11－a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠11－a；答案②若a＝1－1a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴a≠1－1a；③若11－a＝1－1a，则a2－a＋1＝0，无实数解，∴11－a≠1－1a.综上所述，集合S中至少有三个不同的元素．答案本课结束