抽象函数与解题策略

课题抽象函数与解题策略育诚高级中学——黄勇一、教学目标1、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；2、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；3、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。二、教学重点通过对抽象函数有关性质的研究来解决求函数值、求解方程和不等式等问题。三、课型：拓展研究课四、教学过程（一）对近年高考试题分析1、设奇函数()fx的定义域为[5,5]，若当[0,5]x时，()fx的图像如图所示，求不等式()0fx的解。（2004年高考）2、()fx是定义在区间[,]cc上的奇函数，其图像如图所示。令()()gxafxb，则下列关于函数()gx的叙述正确的是（）（2003年高考）（A）若0a，则函数()gx的图像关于原点对称；（B）若1,20ab，则方程()0gx有大于2的实根；（C）若0,2ab，则方程()0gx有两个实根；（D）若1,2ab，则方程()0gx有三个实根。（二）例题选讲例1已知()fx是定义在(0,)上的增函数，且对任意(0,)xy、都有()()()xffxfyy。（1）求(1)f的值；（2）若(6)1f，求解不等式：1(3)()2fxfx。求函数值练习：1、定义在R上的函数()yfx同时满足：（a）对任意33,()[()]xRfxfx；(b)对任意1212xxRxx、、均有12()()fxfx。求(0)(1)(1)fff的值。2、()fx是定义在R上的函数，且1()(1)(()01)1()fxfxfxfx和，若(1)2f，求(2005)f的值。例2定义在R上单调函数()fx满足2(3)log3f且对任意xyR、都有：()fxy()()fxfy。若(3)(392)0xxxfkf对任意xR恒成立，求实数k的取值范围。奇偶性练习：1、已知函数()fx对任意实数xy、均有()()()fxyfxfy且(1)1f，试判断()fx的奇偶性。2、已知函数()()fxgx、均为定义在(,0)(0,)上的奇函数，且()()()2Fxafxbgx在(0,)上的最大值为5，求()Fx在(,0)上的最小值。3、已知函数()fx是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的abR、都满足()()()fabafbbfa。（1）求(0)(1)ff、的值；（2）判断()fx的奇偶性并证明。例3设函数()fx的定义域为R，当0x时，()1fx，且对任意的xyR、有()()()fxyfxfy成立。数列na满足111(0),()()(2)nnaffanNfa且（1）求证：(0)1f；（2）证明方程()()fxaaR至多只有一解。（3）求数列na的通项公式。单调性练习：1已知定义在R上的函数()fx同时满足下列三个条件：（a）对任意xyR、都有()()()fxyfxfy；（b）1()0xfx时，；（c）(3)1f。（1）计算(9)(3)ff、的值；（2）证明()fx在R上为减函数；（3）有集合2{(,)(1)(5)20,}AcdfcfdcdR、，1{(,)()0,}2cBcdfcdRd、，则是否存在点00(,)cd，使00(,)cdAB？2已知定义在R上的函数()fx满足：（a）值域为(1,1)，且当0x时有1()0fx；(b)对于定义域内任意的实数xy、均满足：()()()1()()fmfnfmnfmfn。（1）求(0)f的值；（2）判断并证明函数()fx的单调性。课后作业：1、已知()fx是定义在[1,1]上的奇函数，且(1)1f。若[1,1],0abab、，则有()()0fafbab。（1）判断()fx在[1,1]上的单调性并证明；（2）若2()21fxmam对所有[1,1][1,1]xa、恒成立，求实数m的取值范围。2、已知函数()fx的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：（a）当12xx、是定义域中的数时，有121221()()1()()()fxfxfxxfxfx；（b）()1(0,faaa是定义域中的一个数)；（c）当02xa时，()0fx。试问：（1）()fx的奇偶性如何？说明理由。（2）在区间(0,4)a上，()fx的单调性如何？说明理由。3、定义在(1,1)上的函数()fx满足：()()()1xyfxfyfxy，且当(1,0)x时()0fx。（1）判断()fx在(1,1)上的奇偶性，并说明理由；（2）判断()fx在(0,1)上的单调性，并说明理由；（3）若11()52f，求111()()()21119fff的值。