抽象函数问题的处理策略

抽象函数问题的处理策略霍邱一中余其权抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1、线性函数型抽象函数f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）例1、已知函数)(xf对任意实数x，y，均有)()()(yfxfyxf，且当0x时，0)(xf，2)1(f，求)(xf在区间[－2，1]上的值域。解：设21xx，则012xx，∵当0x时，0)(xf，∴0)(12xxf，∵)()()()(1121122xfxxfxxxfxf，∴0)()()(1212xxfxfxf，即)()(21xfxf，∴)(xf为增函数在条件中，令y＝－x，则)()()0(xfxff，再令x＝y＝0，则)0(2)0(ff，∴0)0(f，故)()(xfxf，)(xf为奇函数，∴2)1()1(ff，又4)1(2)2(ff，∴)(xf的值域为［－4，2］。例2、已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x0时，f(x)2，f(3)＝5，求不等式3)22(2aaf的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2、二次函数型抽象函数maxkxf2)()(————)()(xafxaf二次函数型抽象函数即由二次函数抽象而得到的函数若抽象函数)(xfy满足Rx，总有)()(xafxaf，则可用二次函数maxky2)(为模型引出解题思路；例3、已知实数集上的函数)(xf恒满足)2()2(xfxf,方程)(xf=0有5个实根,则这5个根之和=_____________分析：因为实数集上的函数)(xf恒满足)2()2(xfxf,方程)(xf=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数2)2(xky为模型引出解题思路，即函数的对称轴是2x，并且函数在0)2(f，其余的四个实数根关于2x对称，解：因为实数集上的函数)(xf恒满足)2()2(xfxf,方程)(xf=0有5个实根，所以函数关于直线2x对称，所以方程的五个实数根也关于直线2x对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线2x两侧，关于直线2x对称，则这5个根之和为103、指数函数型的抽象函数f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝)()(yfxf例4、设f(x)是定义在R上的偶函数。其图象关于直线y＝x对称，对任意x1，x2]21.0[，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，且f(1)＝a＞0．(Ⅰ)求)21(f及)41(f；(Ⅱ)证明f(x)是周期函数；(Ⅲ)记)212(nnfan，求)(lnlimnna．(Ⅰ)解：可以考虑指数函数的模型指导解题的思路，例如运用函数xxf2)(由]21,0[,,)()()()(212121xxxfxfxfxf知：)2()2()(xfxfxf≥0，x∈[0，1]∵2)]21([)21()21()2121()1(fffff，f(1)＝a＞0，∴21)21(af∵2)]41([)41()41()4141()21(fffff，∴41)41(af(Ⅱ)证明：依题设y＝f(x)关于直线x＝1对称，故f(x)＝f(1＋1－x)，即f(x)＝f(2－x)，x∈R又由f(x)是偶函数知f(－x)＝f(x)，x∈R将上式中－x以x代换，得f(x)＝f(x＋2)，x∈R这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知f(x)＞0，x∈[0，1]nnfnfnfnfnnfnfnfnnfnfnnnfnnff)]21([)21()21()21(]21)2[()21()21(]21)1[()21(]21)1(21[)21()21(∴nanf21)21(∵f(x)的一个周期是2，∴)21()212(nfnnf，因此nnaa21∴0)21()(lnanlimlnalimnnn．例5、设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m、n，总有)n(f)m(f)nm(f，且0x时1)(0xf。（1）证明：f(0)=1，且x0时f(x)1；（2）证明：f(x)在R上单调递减；（3）设}Ra,1)2yax(f)y,x({B)},1(f)y(f)x(f)y,x({A22，若BA，确定a的范围。（1）证明：)n(f)m(f)nm(f令0n,0m)0(f)m(f)m(f，已知0x时，1)x(f01)0(f设0xm，0xn，)1,0()x(f1)n(f)m(f)nm(f)0(f1)m(f，即当x0时f(x)1（2）Rxx21，则0)x(f,1)xx(f0,0xx11212)x(f)xxx(f)x(f)x(f111212)x(f)x(f)xx(f11120]1)xx(f)[x(f121f(x)在R上单调递减。（3）)1(f)y(f)x(f22)1(f)yx(f22f(x)在R上单调递减1yx22（单位圆内部分）)0(f1)2yax(f02yax（一条直线）BA11a223a2]3,3[a例6．定义在R上的函数)(xf满足：对任意实数,mn，总有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf．（1）试求)0(f的值；（2）判断)(xf的单调性并证明你的结论；（3）设)1()()(|),(22fyfxfyxA，RayaxfyxB,1)2(|),(若AB，试确定a的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数)(xf．解：（1）在)()()(nfmfnmf中，令1,0mn．得：)0()1()1(fff．因为0)1(f，所以，1)0(f．（2）要判断)(xf的单调性，可任取12,xxR，且设12xx．在已知条件)()()(nfmfnmf中，若取21,mnxmx，则已知条件可化为：)()()(1212xxfxfxf．由于210xx，所以0)(112xxf．为比较)(),(12xfxf的大小，只需考虑)(1xf的正负即可．在)()()(nfmfnmf中，令mx，nx，则得1)()(xfxf．∵0x时，1)(0xf，∴当0x时，.01)(1)(xfxf．又1)0(f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有0)(1xf．∴0]1)()[()()(12112xxfxfxfxf．∴函数)(xf在R上单调递减．（3）首先利用)(xf的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子．1)1()()(2222yxfyfxf即)0(1)2(fyaxf，即20axy．由AB，所以，直线20axy与圆面221xy无公共点．所以，2211a．解得：11a．（4）如xxf21)(．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0mn；以及21,mnxmx等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数4、对数函数型的抽象函数f（x）＝logax（a0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（yx）＝f（x）－f（y）例7、已知函数)(xf满足定义域在),0(上的函数，对于任意的),0(,yx，都有)()()(yfxfxyf，当且仅当1x时，0)(xf成立，（1）设),0(,yx，求证)()()(xfyfxyf；（2）设),0(,21xx，若)()(21xfxf，试比较1x与2x的大小；（3）解关于x的不等式01)1(2axaxf分析：本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的基本性质解题证明：（1）∵)()()(yfxfxyf，∴)()()(yfxfxyf，∴)()()(xfyfxyf（2）∵)()(21xfxf，∴0)()(21xfxf，即)()()(2121xfxfxxf0)(21xxf∵当且仅当1x时，0)(xf成立，∴当0)(xf时，1x，∴121xx，21xx（3）令1yx代入)()()(yfxfxyf得)1()1()1(fff，0)1(f，∴关于x的不等式01)1(2axaxf为)1(1)1(2faxaxf，由（2）可知函数)(xf在定义域),0(上是减函数，∴11)1(02axax，由11)1(2axax得，当1a时，ax1，此时01)1(2axax成立；当1a时，1xa，此时01)1(2axax成立；当1a，1x，此时01)1(2axax成立。练习：1、函数f(x)的定义域为(0,)，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则(2)f（12）2、函数f(x)的定义域为R上的偶函数，对xR都有(6)()(3)fxfxf成立，若(1)2f，则(2005)f=（）（B）A）2005B）2C）1D）03、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=f-1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f-1(2x)，则Y=f-1(16)为（）（A）A）18B）116C）8D）16总之，因为抽象函数与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，加上本身的抽象性、多变性，所以问题类型众多，解题方法复杂多变.尽管如此，以特殊模型代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法，它能解决中学数学中大多数抽象函数问题.这样做符合学生的年龄特征和认知水平，学生不仅便于理解和接受，感到实在可靠，而且能使学生展开丰富的想象，以解决另外的抽象函数问题.